Atrisiniet z^2+27=10z

$${ z }^{ 2 } +27 = 10z$$

Atrast z

$$z=5+\sqrt{2}i\approx 5+1,414213562i$$

$$z=-\sqrt{2}i+5\approx 5-1,414213562i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Atņemiet 10z no abām pusēm.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$z^{2}-10z+27=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar -10 un c ar 27.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 27}}{2}$$

Kāpiniet -10 kvadrātā.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 27}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz 27.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-108}}{2}$$

Pieskaitiet 100 pie -108.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -8.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Skaitļa -10 pretstats ir 10.

$$z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 10 pie 2i\sqrt{2}.

$$z=\frac{10+2\sqrt{2}i}{2}$$

Daliet 10+2i\sqrt{2} ar 2.

$$z=5+\sqrt{2}i$$

Tagad atrisiniet vienādojumu z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2i\sqrt{2} no 10.

$$z=\frac{-2\sqrt{2}i+10}{2}$$

Daliet 10-2i\sqrt{2} ar 2.

$$z=-\sqrt{2}i+5$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Atņemiet 10z no abām pusēm.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Atņemiet 27 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$z^{2}-10z=-27$$

Daliet locekļa x koeficientu -10 ar 2, lai iegūtu -5. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -5 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$z^{2}-10z+\left(-5\right)^{2}=-27+\left(-5\right)^{2}$$

Kāpiniet -5 kvadrātā.

$$z^{2}-10z+25=-27+25$$

Pieskaitiet -27 pie 25.

$$z^{2}-10z+25=-2$$

Sadaliet reizinātājos z^{2}-10z+25. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-5\right)^{2}=-2$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(z-5\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Vienkāršojiet.

$$z-5=\sqrt{2}i z-5=-\sqrt{2}i$$

Pieskaitiet 5 abās vienādojuma pusēs.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$