Atrisiniet x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Atrast x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lai atrisinātu nevienādību, sadaliet reizinātājos kreiso pusi. Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$x^{2}-x-1=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 1, b ar -1 un c ar -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Veiciet aprēķinus.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Atrisiniet vienādojumu x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Pārrakstiet nevienādību, izmantojot iegūtos risinājumus.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Lai reizinājums būtu pozitīvs, abām vērtībām x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} un x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} ir jābūt negatīvām vai pozitīvām. Apsveriet gadījumu, kur abas vērtības x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} un x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} ir negatīvas.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Apsveriet gadījumu, kur abas vērtības x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} un x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} ir pozitīvas.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Galīgais risinājums ir iegūto risinājumu apvienojums.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$