Atrisiniet x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Atrast x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lai atrisinātu nevienādību, sadaliet reizinātājos kreiso pusi. Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 1, b ar -3 un c ar 1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Veiciet aprēķinus.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Atrisiniet vienādojumu x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Pārrakstiet nevienādību, izmantojot iegūtos risinājumus.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Lai reizinājums būtu negatīvs, vērtībām x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} un x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} ir jābūt ar pretējām zīmēm. Apsveriet gadījumu, kur vērtība x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} ir pozitīva, bet vērtība x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} ir negatīva.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Tas ir aplami jebkuram x.

$$x\in \emptyset$$

Apsveriet gadījumu, kur vērtība x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} ir pozitīva, bet vērtība x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} ir negatīva.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Galīgais risinājums ir iegūto risinājumu apvienojums.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$