Atrisiniet x^2+25x-125=0

$${ x }^{ 2 } +25x-125=0$$

Atrast x

$$x = \frac{15 \sqrt{5} - 25}{2} \approx 4,270509831$$

$$x=\frac{-15\sqrt{5}-25}{2}\approx -29,270509831$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x^{2}+25x-125=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar 25 un c ar -125.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\left(-125\right)}}{2}$$

Kāpiniet 25 kvadrātā.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\left(-125\right)}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz -125.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+500}}{2}$$

Pieskaitiet 625 pie 500.

$$x=\frac{-25±\sqrt{1125}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 1125.

$$x=\frac{-25±15\sqrt{5}}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-25±15\sqrt{5}}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -25 pie 15\sqrt{5}.

$$x=\frac{15\sqrt{5}-25}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-25±15\sqrt{5}}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 15\sqrt{5} no -25.

$$x=\frac{-15\sqrt{5}-25}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{15\sqrt{5}-25}{2} x=\frac{-15\sqrt{5}-25}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+25x-125=0$$

Pieskaitiet 125 abās vienādojuma pusēs.

$$x^{2}+25x-125-\left(-125\right)=-\left(-125\right)$$

Atņemot -125 no sevis, paliek 0.

$$x^{2}+25x=-\left(-125\right)$$

Atņemiet -125 no 0.

$$x^{2}+25x=125$$

Daliet locekļa x koeficientu 25 ar 2, lai iegūtu \frac{25}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{25}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=125+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{25}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=125+\frac{625}{4}$$

Pieskaitiet 125 pie \frac{625}{4}.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{1125}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+25x+\frac{625}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{1125}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1125}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{15\sqrt{5}}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{15\sqrt{5}}{2}$$

Atņemiet \frac{25}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{15\sqrt{5}-25}{2} x=\frac{-15\sqrt{5}-25}{2}$$