Atrisiniet x^2+25x+100=0

$${ x }^{ 2 } +25x+100=0$$

Atrast x

$$x=-20$$

$$x=-5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet reizinātājos x^{2}+25x+100, izmantojot formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=25 ab=100$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvi. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 25.

$$a=5 b=20$$

Pārrakstiet reizinātājos sadalīto izteiksmi \left(x+a\right)\left(x+b\right), izmantojot iegūtās vērtības.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x+5=0 un x+20=0.

$$x=-5 x=-20$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā x^{2}+ax+bx+100. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=25 ab=1\times 100=100$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvi. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 25.

$$a=5 b=20$$

Pārrakstiet x^{2}+25x+100 kā \left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju x pirmajā grupā, bet 20 otrajā grupā.

$$x\left(x+5\right)+20\left(x+5\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli x+5, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x+5=0 un x+20=0.

$$x=-5 x=-20$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x^{2}+25x+100=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar 25 un c ar 100.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 100}}{2}$$

Kāpiniet 25 kvadrātā.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 100}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz 100.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-400}}{2}$$

Pieskaitiet 625 pie -400.

$$x=\frac{-25±\sqrt{225}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 225.

$$x=\frac{-25±15}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-25±15}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -25 pie 15.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Daliet -10 ar 2.

$$x=-5$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-25±15}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 15 no -25.

$$x=-\frac{40}{2}$$

Daliet -40 ar 2.

$$x=-20$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-5 x=-20$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+25x+100=0$$

Atņemiet 100 no vienādojuma abām pusēm.

$$x^{2}+25x+100-100=-100$$

Atņemot 100 no sevis, paliek 0.

$$x^{2}+25x=-100$$

Daliet locekļa x koeficientu 25 ar 2, lai iegūtu \frac{25}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{25}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-100+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{25}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-100+\frac{625}{4}$$

Pieskaitiet -100 pie \frac{625}{4}.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{225}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+25x+\frac{625}{4}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{15}{2}$$

Atņemiet \frac{25}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-5 x=-20$$