Atrisiniet {left(x-1/xright)}^2=20

$${ \left(x- \frac{ 1 }{ x } \right) }^{ 2 } =20$$

Atrast x

$$x=\sqrt{5}-\sqrt{6}\approx -0,213421765$$

$$x=\sqrt{5}+\sqrt{6}\approx 4,68555772$$

$$x=\sqrt{6}-\sqrt{5}\approx 0,213421765$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)\approx -4,68555772$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lai saskaitītu vai atņemtu izteiksmes, izvērsiet tās, vienādojot saucējus. Reiziniet x reiz \frac{x}{x}.

$$\left(\frac{xx}{x}-\frac{1}{x}\right)^{2}=20$$

Tā kā \frac{xx}{x} un \frac{1}{x} ir viens un tas pats saucējs, atņemiet tos, atņemot to skaitītājus.

$$\left(\frac{xx-1}{x}\right)^{2}=20$$

Veiciet reizināšanas darbības izteiksmē xx-1.

$$\left(\frac{x^{2}-1}{x}\right)^{2}=20$$

Lai kāpinātu izteiksmi \frac{x^{2}-1}{x}, kāpiniet gan skaitītāju, gan saucēju atbilstoši pakāpei, un pēc tam veiciet dalīšanu.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)^{2}}{x^{2}}=20$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1}{x^{2}}=20$$

Lai pakāpi kāpinātu citā pakāpē, sareiziniet kāpinātājus. Sareiziniet 2 un 2, lai iegūtu 4.

$$\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}}=20$$

Atņemiet 20 no abām pusēm.

$$\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}}-20=0$$

Lai saskaitītu vai atņemtu izteiksmes, izvērsiet tās, vienādojot saucējus. Reiziniet 20 reiz \frac{x^{2}}{x^{2}}.

$$\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}}-\frac{20x^{2}}{x^{2}}=0$$

Tā kā \frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}} un \frac{20x^{2}}{x^{2}} ir viens un tas pats saucējs, atņemiet tos, atņemot to skaitītājus.

$$\frac{x^{4}-2x^{2}+1-20x^{2}}{x^{2}}=0$$

Apvienojiet līdzīgos locekļus izteiksmē x^{4}-2x^{2}+1-20x^{2}.

$$\frac{x^{4}-22x^{2}+1}{x^{2}}=0$$

Mainīgais x nevar būt vienāds ar 0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet vienādojuma abas puses ar x^{2}.

$$x^{4}-22x^{2}+1=0$$

Aizvietojiet t ar x^{2}.

$$t^{2}-22t+1=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 1, b ar -22 un c ar 1.

$$t=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Veiciet aprēķinus.

$$t=\frac{22±4\sqrt{30}}{2}$$

Atrisiniet vienādojumu t=\frac{22±4\sqrt{30}}{2}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$t=2\sqrt{30}+11 t=11-2\sqrt{30}$$

Tā kā x=t^{2}, risinājumi tiek iegūti, novērtējot x=±\sqrt{t} katram t.

$$x=\sqrt{5}+\sqrt{6} x=-\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right) x=-\left(\sqrt{5}-\sqrt{6}\right) x=\sqrt{5}-\sqrt{6}$$