Atrisiniet left(x+3right)^2+x^2=317

$${ \left(x+3 \right) }^{ 2 } + { x }^{ 2 } =317$$

Atrast x

$$x=-14$$

$$x=11$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

Savelciet x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

Atņemiet 317 no abām pusēm.

$$2x^{2}+6x+9-317=0$$

Atņemiet 317 no 9, lai iegūtu -308.

$$2x^{2}+6x-308=0$$

Daliet abas puses ar 2.

$$x^{2}+3x-154=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā x^{2}+ax+bx-154. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=3 ab=1\left(-154\right)=-154$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -154.

$$-1,154 -2,77 -7,22 -11,14$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+154=153 -2+77=75 -7+22=15 -11+14=3$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 3.

$$a=-11 b=14$$

Pārrakstiet x^{2}+3x-154 kā \left(x^{2}-11x\right)+\left(14x-154\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(14x-154\right)$$

Sadaliet x pirmo un 14 otrajā grupā.

$$x\left(x-11\right)+14\left(x-11\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-11 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-11\right)\left(x+14\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-11=0 un x+14=0.

$$x=11 x=-14$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

Savelciet x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

Atņemiet 317 no abām pusēm.

$$2x^{2}+6x+9-317=0$$

Atņemiet 317 no 9, lai iegūtu -308.

$$2x^{2}+6x-308=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 2, b ar 6 un c ar -308.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

Kāpiniet 6 kvadrātā.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

Reiziniet -4 reiz 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

Reiziniet -8 reiz -308.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+2464}}{2\times 2}$$

Pieskaitiet 36 pie 2464.

$$x=\frac{-6±\sqrt{2500}}{2\times 2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 2500.

$$x=\frac{-6±50}{2\times 2}$$

Reiziniet 2 reiz 2.

$$x=\frac{-6±50}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-6±50}{4}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -6 pie 50.

$$x=\frac{44}{4}$$

Daliet 44 ar 4.

$$x=11$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-6±50}{4}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 50 no -6.

$$x=-\frac{56}{4}$$

Daliet -56 ar 4.

$$x=-14$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=11 x=-14$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

Savelciet x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

Atņemiet 9 no abām pusēm.

$$2x^{2}+6x=317-9$$

Atņemiet 9 no 317, lai iegūtu 308.

$$2x^{2}+6x=308$$

Daliet abas puses ar 2.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=\frac{308}{2}$$

Dalīšana ar 2 atsauc reizināšanu ar 2.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=\frac{308}{2}$$

Daliet 6 ar 2.

$$x^{2}+3x=\frac{308}{2}$$

Daliet 308 ar 2.

$$x^{2}+3x=154$$

Daliet locekļa x koeficientu 3 ar 2, lai iegūtu \frac{3}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{3}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=154+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{3}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=154+\frac{9}{4}$$

Pieskaitiet 154 pie \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{625}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{25}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{25}{2}$$

Atņemiet \frac{3}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=11 x=-14$$