Atrisiniet left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Atrast x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Lai atrastu x^{2}+22x+121 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Savelciet x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Savelciet 28x un -22x, lai iegūtu 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Atņemiet 121 no 196, lai iegūtu 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Pievienot 12x abās pusēs.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Savelciet 6x un 12x, lai iegūtu 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Atņemiet 36 no abām pusēm.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Atņemiet 36 no 75, lai iegūtu 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar 18 un c ar 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet 18 kvadrātā.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 4 reiz 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet 324 pie 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -18 pie 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Daliet -18+4\sqrt{30} ar -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 4\sqrt{30} no -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Daliet -18-4\sqrt{30} ar -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Lai atrastu x^{2}+22x+121 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Savelciet x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Savelciet 28x un -22x, lai iegūtu 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Atņemiet 121 no 196, lai iegūtu 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Pievienot 12x abās pusēs.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Savelciet 6x un 12x, lai iegūtu 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Atņemiet 75 no abām pusēm.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Atņemiet 75 no 36, lai iegūtu -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Daliet 18 ar -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Daliet -39 ar -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Daliet locekļa x koeficientu -18 ar 2, lai iegūtu -9. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -9 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Kāpiniet -9 kvadrātā.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Pieskaitiet 39 pie 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-18x+81. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Vienkāršojiet.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Pieskaitiet 9 abās vienādojuma pusēs.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$