Atrisiniet left(3x+1right)^2=-2x

$${ \left(3x+1 \right) }^{ 2 } =-2x$$

Atrast x

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9}\approx -0,150472077$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}\approx -0,738416812$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=-2x$$

Pievienot 2x abās pusēs.

$$9x^{2}+6x+1+2x=0$$

Savelciet 6x un 2x, lai iegūtu 8x.

$$9x^{2}+8x+1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 9, b ar 8 un c ar 1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Kāpiniet 8 kvadrātā.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 9}}{2\times 9}$$

Reiziniet -4 reiz 9.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-36}}{2\times 9}$$

Pieskaitiet 64 pie -36.

$$x=\frac{-8±\sqrt{28}}{2\times 9}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 28.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Reiziniet 2 reiz 9.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{18}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{18}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -8 pie 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-8}{18}$$

Daliet -8+2\sqrt{7} ar 18.

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{18}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2\sqrt{7} no -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-8}{18}$$

Daliet -8-2\sqrt{7} ar 18.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9} x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=-2x$$

Pievienot 2x abās pusēs.

$$9x^{2}+6x+1+2x=0$$

Savelciet 6x un 2x, lai iegūtu 8x.

$$9x^{2}+8x+1=0$$

Atņemiet 1 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$9x^{2}+8x=-1$$

Daliet abas puses ar 9.

$$\frac{9x^{2}+8x}{9}=-\frac{1}{9}$$

Dalīšana ar 9 atsauc reizināšanu ar 9.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x=-\frac{1}{9}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{8}{9} ar 2, lai iegūtu \frac{4}{9}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{4}{9} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\left(\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{4}{9}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=-\frac{1}{9}+\frac{16}{81}$$

Pieskaitiet -\frac{1}{9} pie \frac{16}{81}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=\frac{7}{81}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{9}\right)^{2}=\frac{7}{81}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{81}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{4}{9}=\frac{\sqrt{7}}{9} x+\frac{4}{9}=-\frac{\sqrt{7}}{9}$$

Atņemiet \frac{4}{9} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9} x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}$$