Atrisiniet left(2x-3right)^2=49

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } =49$$

Atrast x

$$x=5$$

$$x=-2$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Atņemiet 49 no abām pusēm.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

Atņemiet 49 no 9, lai iegūtu -40.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

Daliet abas puses ar 4.

$$x^{2}-3x-10=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā x^{2}+ax+bx-10. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -10.

$$1,-10 2,-5$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -3.

$$a=-5 b=2$$

Pārrakstiet x^{2}-3x-10 kā \left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Sadaliet x pirmo un 2 otrajā grupā.

$$x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-5 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-5\right)\left(x+2\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-5=0 un x+2=0.

$$x=5 x=-2$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Atņemiet 49 no abām pusēm.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

Atņemiet 49 no 9, lai iegūtu -40.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 4, b ar -12 un c ar -40.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Kāpiniet -12 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -4 reiz 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -16 reiz -40.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+640}}{2\times 4}$$

Pieskaitiet 144 pie 640.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 784.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±28}{2\times 4}$$

Skaitļa -12 pretstats ir 12.

$$x=\frac{12±28}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$x=\frac{12±28}{8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{12±28}{8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 12 pie 28.

$$x=\frac{40}{8}$$

Daliet 40 ar 8.

$$x=5$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{12±28}{8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 28 no 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Daliet -16 ar 8.

$$x=-2$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=5 x=-2$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Atņemiet 9 no abām pusēm.

$$4x^{2}-12x=49-9$$

Atņemiet 9 no 49, lai iegūtu 40.

$$4x^{2}-12x=40$$

Daliet abas puses ar 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{40}{4}$$

Dalīšana ar 4 atsauc reizināšanu ar 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{40}{4}$$

Daliet -12 ar 4.

$$x^{2}-3x=\frac{40}{4}$$

Daliet 40 ar 4.

$$x^{2}-3x=10$$

Daliet locekļa x koeficientu -3 ar 2, lai iegūtu -\frac{3}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{3}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{3}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Pieskaitiet 10 pie \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Pieskaitiet \frac{3}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=5 x=-2$$