Atrisiniet left(12-xright)^2+144=9x^2

$${ \left(12-x \right) }^{ 2 } +144=9 { x }^{ 2 }$$

Atrast x

$$x = \frac{3 \sqrt{17} - 3}{2} \approx 4,684658438$$

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}\approx -7,684658438$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(12-x\right)^{2}.

$$144-24x+x^{2}+144=9x^{2}$$

Saskaitiet 144 un 144, lai iegūtu 288.

$$288-24x+x^{2}=9x^{2}$$

Atņemiet 9x^{2} no abām pusēm.

$$288-24x+x^{2}-9x^{2}=0$$

Savelciet x^{2} un -9x^{2}, lai iegūtu -8x^{2}.

$$288-24x-8x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-8x^{2}-24x+288=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -8, b ar -24 un c ar 288.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-8\right)\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

Kāpiniet -24 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-8\right)\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -8.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+32\times 288}}{2\left(-8\right)}$$

Reiziniet 32 reiz 288.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+9216}}{2\left(-8\right)}$$

Pieskaitiet 576 pie 9216.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{9792}}{2\left(-8\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 9792.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±24\sqrt{17}}{2\left(-8\right)}$$

Skaitļa -24 pretstats ir 24.

$$x=\frac{24±24\sqrt{17}}{2\left(-8\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -8.

$$x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 24 pie 24\sqrt{17}.

$$x=\frac{24\sqrt{17}+24}{-16}$$

Daliet 24+24\sqrt{17} ar -16.

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{24±24\sqrt{17}}{-16}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 24\sqrt{17} no 24.

$$x=\frac{24-24\sqrt{17}}{-16}$$

Daliet 24-24\sqrt{17} ar -16.

$$x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2} x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(12-x\right)^{2}.

$$144-24x+x^{2}+144=9x^{2}$$

Saskaitiet 144 un 144, lai iegūtu 288.

$$288-24x+x^{2}=9x^{2}$$

Atņemiet 9x^{2} no abām pusēm.

$$288-24x+x^{2}-9x^{2}=0$$

Savelciet x^{2} un -9x^{2}, lai iegūtu -8x^{2}.

$$288-24x-8x^{2}=0$$

Atņemiet 288 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$-24x-8x^{2}=-288$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}-24x=-288$$

Daliet abas puses ar -8.

$$\frac{-8x^{2}-24x}{-8}=-\frac{288}{-8}$$

Dalīšana ar -8 atsauc reizināšanu ar -8.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{-8}\right)x=-\frac{288}{-8}$$

Daliet -24 ar -8.

$$x^{2}+3x=-\frac{288}{-8}$$

Daliet -288 ar -8.

$$x^{2}+3x=36$$

Daliet locekļa x koeficientu 3 ar 2, lai iegūtu \frac{3}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{3}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=36+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{3}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=36+\frac{9}{4}$$

Pieskaitiet 36 pie \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{153}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{153}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{17}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{17}}{2}$$

Atņemiet \frac{3}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{3\sqrt{17}-3}{2} x=\frac{-3\sqrt{17}-3}{2}$$