Atrisiniet sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Atrisinājuma darbības

Kāpiniet kvadrātā abas vienādojuma puses.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Aprēķiniet \sqrt{x^{2}-1} pakāpē 2 un iegūstiet x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Aprēķiniet \sqrt{2x+1} pakāpē 2 un iegūstiet 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Atņemiet 2x no abām pusēm.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Atņemiet 1 no abām pusēm.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Atņemiet 1 no -1, lai iegūtu -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar -2 un c ar -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kāpiniet -2 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Pieskaitiet 4 pie 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Skaitļa -2 pretstats ir 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 2 pie 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Daliet 2+2\sqrt{3} ar 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2\sqrt{3} no 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Daliet 2-2\sqrt{3} ar 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Ar \sqrt{3}+1 aizvietojiet x vienādojumā \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Vienkāršojiet. Vērtība x=\sqrt{3}+1 atbilst vienādojumam.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ar 1-\sqrt{3} aizvietojiet x vienādojumā \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Vienkāršojiet. Vērtība x=1-\sqrt{3} atbilst vienādojumam.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Uzskaitiet visus \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} risinājumus.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Atrast x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Atrisinājuma darbības

Kāpiniet kvadrātā abas vienādojuma puses.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Aprēķiniet \sqrt{x^{2}-1} pakāpē 2 un iegūstiet x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Aprēķiniet \sqrt{2x+1} pakāpē 2 un iegūstiet 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Atņemiet 2x no abām pusēm.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Atņemiet 1 no abām pusēm.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Atņemiet 1 no -1, lai iegūtu -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar -2 un c ar -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kāpiniet -2 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Pieskaitiet 4 pie 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Skaitļa -2 pretstats ir 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 2 pie 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Daliet 2+2\sqrt{3} ar 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2\sqrt{3} no 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Daliet 2-2\sqrt{3} ar 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Ar \sqrt{3}+1 aizvietojiet x vienādojumā \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Vienkāršojiet. Vērtība x=\sqrt{3}+1 atbilst vienādojumam.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ar 1-\sqrt{3} aizvietojiet x vienādojumā \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Izteiksmes \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} nav definēts, jo radicand nevar būt negatīvs.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Vienādojumam \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} ir unikāls risinājums.

$$x=\sqrt{3}+1$$