Atrisiniet sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Atrast x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Atrisinājuma darbības

Atņemiet -\sqrt{15+x^{2}} no vienādojuma abām pusēm.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Kāpiniet kvadrātā abas vienādojuma puses.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Aprēķiniet \sqrt{25-x^{2}} pakāpē 2 un iegūstiet 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Aprēķiniet \sqrt{15+x^{2}} pakāpē 2 un iegūstiet 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Saskaitiet 16 un 15, lai iegūtu 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Atņemiet 31+x^{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Lai atrastu 31+x^{2} pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Atņemiet 31 no 25, lai iegūtu -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Savelciet -x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Kāpiniet kvadrātā abas vienādojuma puses.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Lai pakāpi kāpinātu citā pakāpē, sareiziniet kāpinātājus. Sareiziniet 2 un 2, lai iegūtu 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Paplašiniet \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Aprēķiniet 8 pakāpē 2 un iegūstiet 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Aprēķiniet \sqrt{15+x^{2}} pakāpē 2 un iegūstiet 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 64 ar 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Atņemiet 960 no abām pusēm.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Atņemiet 960 no 36, lai iegūtu -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Atņemiet 64x^{2} no abām pusēm.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Savelciet 24x^{2} un -64x^{2}, lai iegūtu -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Aizvietojiet t ar x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 4, b ar -40 un c ar -924.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Veiciet aprēķinus.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Atrisiniet vienādojumu t=\frac{40±128}{8}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$t=21 t=-11$$

Tā kā x=t^{2}, risinājumi tiek iegūti, novērtējot x=±\sqrt{t} katram t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Ar -\sqrt{21} aizvietojiet x vienādojumā \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Vienkāršojiet. Vērtība x=-\sqrt{21} neatbilst vienādojumam, jo kreisajā un labajā pusē ir pretējas zīmes.

$$-4=4$$

Ar \sqrt{21} aizvietojiet x vienādojumā \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Vienkāršojiet. Vērtība x=\sqrt{21} neatbilst vienādojumam, jo kreisajā un labajā pusē ir pretējas zīmes.

$$-4=4$$

Ar -\sqrt{11}i aizvietojiet x vienādojumā \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Vienkāršojiet. Vērtība x=-\sqrt{11}i atbilst vienādojumam.

$$4=4$$

Ar \sqrt{11}i aizvietojiet x vienādojumā \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Vienkāršojiet. Vērtība x=\sqrt{11}i atbilst vienādojumam.

$$4=4$$

Uzskaitiet visus \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4 risinājumus.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$