Atrisiniet sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Atrast x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Atrisinājuma darbības

Atņemiet -\sqrt{19-x^{2}} no vienādojuma abām pusēm.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Kāpiniet kvadrātā abas vienādojuma puses.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Aprēķiniet \sqrt{15+x^{2}} pakāpē 2 un iegūstiet 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Aprēķiniet \sqrt{19-x^{2}} pakāpē 2 un iegūstiet 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Saskaitiet 4 un 19, lai iegūtu 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Atņemiet 23-x^{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Lai atrastu 23-x^{2} pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Atņemiet 23 no 15, lai iegūtu -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Savelciet x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Kāpiniet kvadrātā abas vienādojuma puses.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Lai pakāpi kāpinātu citā pakāpē, sareiziniet kāpinātājus. Sareiziniet 2 un 2, lai iegūtu 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Paplašiniet \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Aprēķiniet 4 pakāpē 2 un iegūstiet 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Aprēķiniet \sqrt{19-x^{2}} pakāpē 2 un iegūstiet 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 16 ar 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Atņemiet 304 no abām pusēm.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Atņemiet 304 no 64, lai iegūtu -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Pievienot 16x^{2} abās pusēs.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Savelciet -32x^{2} un 16x^{2}, lai iegūtu -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Aizvietojiet t ar x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 4, b ar -16 un c ar -240.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Veiciet aprēķinus.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Atrisiniet vienādojumu t=\frac{16±64}{8}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$t=10 t=-6$$

Tā kā x=t^{2}, risinājumi tiek iegūti, novērtējot x=±\sqrt{t} pozitīvai tvērtībai.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Ar \sqrt{10} aizvietojiet x vienādojumā \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Vienkāršojiet. Vērtība x=\sqrt{10} atbilst vienādojumam.

$$2=2$$

Ar -\sqrt{10} aizvietojiet x vienādojumā \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Vienkāršojiet. Vērtība x=-\sqrt{10} atbilst vienādojumam.

$$2=2$$

Uzskaitiet visus \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2 risinājumus.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$