Atrisiniet {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Atrast y, x

$$x=2$$

$$y=8$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet y, izolējot y pa kreisi no vienādības zīmes.

$$y-2x=4$$

Pieskaitiet 2x abās vienādojuma pusēs.

$$y=2x+4$$

Ar 4+2x aizvietojiet y otrā vienādojumā 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Reiziniet 3 reiz 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Pieskaitiet 6x pie 2x.

$$8x+12=28$$

Atņemiet 12 no vienādojuma abām pusēm.

$$8x=16$$

Daliet abas puses ar 8.

$$x=2$$

Aizvietojiet x ar 2 vienādojumā y=2x+4. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt y.

$$y=2\times 2+4$$

Reiziniet 2 reiz 2.

$$y=4+4$$

Pieskaitiet 4 pie 4.

$$y=8$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$y=8,x=2$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus y un x.

$$y=8,x=2$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Lai vienādotu y un 3y, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 3, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Vienkāršojiet.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Atņemiet 3y+2x=28 no 3y-6x=12 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Pieskaitiet 3y pie -3y. Locekļus 3y un -3y saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-6x-2x=12-28$$

Pieskaitiet -6x pie -2x.

$$-8x=12-28$$

Pieskaitiet 12 pie -28.

$$-8x=-16$$

Daliet abas puses ar -8.

$$x=2$$

Aizvietojiet x ar 2 vienādojumā 3y+2x=28. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt y.

$$3y+2\times 2=28$$

Reiziniet 2 reiz 2.

$$3y+4=28$$

Atņemiet 4 no vienādojuma abām pusēm.

$$3y=24$$

Daliet abas puses ar 3.

$$y=8$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$y=8,x=2$$