Atrisiniet {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Atrast x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Pievienot y abās pusēs.

$$x+y=0$$

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$x+y=0$$

Atņemiet y no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-y$$

Ar -y aizvietojiet x otrā vienādojumā 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Reiziniet 2 reiz -y.

$$-2y+y=5$$

Pieskaitiet -2y pie y.

$$-y=5$$

Daliet abas puses ar -1.

$$y=-5$$

Aizvietojiet y ar -5 vienādojumā x=-y. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=-\left(-5\right)$$

Reiziniet -1 reiz -5.

$$x=5$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=5,y=-5$$

Darbības, izmantojot matricas

Apsveriet pirmo vienādojumu. Pievienot y abās pusēs.

$$x+y=0$$

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=5,y=-5$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Pievienot y abās pusēs.

$$x+y=0$$

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Atņemiet 2x+y=5 no x+y=0 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$x-2x+y-y=-5$$

Pieskaitiet y pie -y. Locekļus y un -y saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$x-2x=-5$$

Pieskaitiet x pie -2x.

$$-x=-5$$

Daliet abas puses ar -1.

$$x=5$$

Aizvietojiet x ar 5 vienādojumā 2x+y=5. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt y.

$$2\times 5+y=5$$

Reiziniet 2 reiz 5.

$$10+y=5$$

Atņemiet 10 no vienādojuma abām pusēm.

$$y=-5$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=5,y=-5$$