Atrisiniet {l}{x+2y=60}{x-y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 60 } \\ { x - y = 30 } \end{array} \right\}$$

Atrast x, y

$$x=40$$

$$y=10$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$x+2y=60$$

Atņemiet 2y no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-2y+60$$

Ar -2y+60 aizvietojiet x otrā vienādojumā x-y=30.

$$-2y+60-y=30$$

Pieskaitiet -2y pie -y.

$$-3y+60=30$$

Atņemiet 60 no vienādojuma abām pusēm.

$$-3y=-30$$

Daliet abas puses ar -3.

$$y=10$$

Aizvietojiet y ar 10 vienādojumā x=-2y+60. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=-2\times 10+60$$

Reiziniet -2 reiz 10.

$$x=-20+60$$

Pieskaitiet 60 pie -20.

$$x=40$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=40,y=10$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60+\frac{2}{3}\times 30\\\frac{1}{3}\times 60-\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=40,y=10$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Atņemiet x-y=30 no x+2y=60 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$x-x+2y+y=60-30$$

Pieskaitiet x pie -x. Locekļus x un -x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$2y+y=60-30$$

Pieskaitiet 2y pie y.

$$3y=60-30$$

Pieskaitiet 60 pie -30.

$$3y=30$$

Daliet abas puses ar 3.

$$y=10$$

Aizvietojiet y ar 10 vienādojumā x-y=30. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x-10=30$$

Pieskaitiet 10 abās vienādojuma pusēs.

$$x=40$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=40,y=10$$