Atrisiniet {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Atrast x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Apsveriet otro vienādojumu. Atņemiet y no abām pusēm.

$$x-y=-5$$

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$x+2y=1$$

Atņemiet 2y no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-2y+1$$

Ar -2y+1 aizvietojiet x otrā vienādojumā x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

Pieskaitiet -2y pie -y.

$$-3y+1=-5$$

Atņemiet 1 no vienādojuma abām pusēm.

$$-3y=-6$$

Daliet abas puses ar -3.

$$y=2$$

Aizvietojiet y ar 2 vienādojumā x=-2y+1. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=-2\times 2+1$$

Reiziniet -2 reiz 2.

$$x=-4+1$$

Pieskaitiet 1 pie -4.

$$x=-3$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-3,y=2$$

Darbības, izmantojot matricas

Apsveriet otro vienādojumu. Atņemiet y no abām pusēm.

$$x-y=-5$$

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=-3,y=2$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Apsveriet otro vienādojumu. Atņemiet y no abām pusēm.

$$x-y=-5$$

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Atņemiet x-y=-5 no x+2y=1 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Pieskaitiet x pie -x. Locekļus x un -x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$2y+y=1+5$$

Pieskaitiet 2y pie y.

$$3y=1+5$$

Pieskaitiet 1 pie 5.

$$3y=6$$

Daliet abas puses ar 3.

$$y=2$$

Aizvietojiet y ar 2 vienādojumā x-y=-5. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x-2=-5$$

Pieskaitiet 2 abās vienādojuma pusēs.

$$x=-3$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-3,y=2$$