Atrisiniet {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Atrast x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$2x+y=3$$

Atņemiet y no vienādojuma abām pusēm.

$$2x=-y+3$$

Daliet abas puses ar 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Reiziniet \frac{1}{2} reiz -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Ar \frac{-y+3}{2} aizvietojiet x otrā vienādojumā x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Pieskaitiet -\frac{y}{2} pie y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Atņemiet \frac{3}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Reiziniet abas puses ar 2.

$$y=7$$

Aizvietojiet y ar 7 vienādojumā x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Reiziniet -\frac{1}{2} reiz 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Pieskaitiet \frac{3}{2} pie -\frac{7}{2}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=-2$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-2,y=7$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=-2,y=7$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Atņemiet x+y=5 no 2x+y=3 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Pieskaitiet y pie -y. Locekļus y un -y saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$2x-x=3-5$$

Pieskaitiet 2x pie -x.

$$x=3-5$$

Pieskaitiet 3 pie -5.

$$x=-2$$

Aizvietojiet x ar -2 vienādojumā x+y=5. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt y.

$$-2+y=5$$

Pieskaitiet 2 abās vienādojuma pusēs.

$$y=7$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-2,y=7$$