Atrisiniet ∫ (from 0 to 1) of {left(1-sqrt{x}right)}^2 wrt x

$$\int_{ 0 }^{ 1 } { \left(1- \sqrt{ x } \right) }^{ 2 } d x$$

Izrēķināt

$$\frac{1}{6}\approx 0,166666667$$

Atrisinājuma darbības

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(1-\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{1}1-2\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Aprēķiniet \sqrt{x} pakāpē 2 un iegūstiet x.

$$\int _{0}^{1}1-2\sqrt{x}+x\mathrm{d}x$$

Vispirms noteikt nenoteikto integrāli.

$$\int 1-2\sqrt{x}+x\mathrm{d}x$$

Integrēt summu terminu pēc termina.

$$\int 1\mathrm{d}x+\int -2\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Iznest konstanti pirms iekavām katrā no terminiem.

$$\int 1\mathrm{d}x-2\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Atrast 1, kas izmanto kopējo integrāļi kārtulu tabulu \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x-2\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Pārrakstiet \sqrt{x} kā x^{\frac{1}{2}}. Tā kā \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 aizstāt \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x ar \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Vienkāršojiet. Reiziniet -2 reiz \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$x-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+\int x\mathrm{d}x$$

Tā kā \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 aizstāt \int x\mathrm{d}x ar \frac{x^{2}}{2}.

$$x-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

Vienkāršojiet.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+x$$

Noteiktais integrālis ir vienādojuma nenoteiktais integrālis, kas ir noteikts pie integrācijas augstākā limita, atņemot nenoteikto integrāli pie zemākā integrācijas limita.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{4}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}+1-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{4}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}+0\right)$$

Vienkāršojiet.

$$\frac{1}{6}$$