Atrisiniet ∫ (from 0 to 1 / 2) of x^4(1-2x)^3 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } x ^ { 4 } ( 1 - 2 x ) ^ { 3 } d x$$

Izrēķināt

$$\frac{1}{8960}\approx 0,000111607$$

Atrisinājuma darbības

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}, lai izvērstu \left(1-2x\right)^{3}.

$$\int _{0}^{\frac{1}{2}}x^{4}\left(1-6x+12x^{2}-8x^{3}\right)\mathrm{d}x$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x^{4} ar 1-6x+12x^{2}-8x^{3}.

$$\int _{0}^{\frac{1}{2}}x^{4}-6x^{5}+12x^{6}-8x^{7}\mathrm{d}x$$

Vispirms noteikt nenoteikto integrāli.

$$\int x^{4}-6x^{5}+12x^{6}-8x^{7}\mathrm{d}x$$

Integrēt summu terminu pēc termina.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -6x^{5}\mathrm{d}x+\int 12x^{6}\mathrm{d}x+\int -8x^{7}\mathrm{d}x$$

Iznest konstanti pirms iekavām katrā no terminiem.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-6\int x^{5}\mathrm{d}x+12\int x^{6}\mathrm{d}x-8\int x^{7}\mathrm{d}x$$

Tā kā \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 aizstāt \int x^{4}\mathrm{d}x ar \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{5}-6\int x^{5}\mathrm{d}x+12\int x^{6}\mathrm{d}x-8\int x^{7}\mathrm{d}x$$

Tā kā \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 aizstāt \int x^{5}\mathrm{d}x ar \frac{x^{6}}{6}. Reiziniet -6 reiz \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{5}}{5}-x^{6}+12\int x^{6}\mathrm{d}x-8\int x^{7}\mathrm{d}x$$

Tā kā \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 aizstāt \int x^{6}\mathrm{d}x ar \frac{x^{7}}{7}. Reiziniet 12 reiz \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{x^{5}}{5}-x^{6}+\frac{12x^{7}}{7}-8\int x^{7}\mathrm{d}x$$

Tā kā \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 aizstāt \int x^{7}\mathrm{d}x ar \frac{x^{8}}{8}. Reiziniet -8 reiz \frac{x^{8}}{8}.

$$\frac{x^{5}}{5}-x^{6}+\frac{12x^{7}}{7}-x^{8}$$

Vienkāršojiet.

$$-x^{8}+\frac{12x^{7}}{7}-x^{6}+\frac{x^{5}}{5}$$

Noteiktais integrālis ir vienādojuma nenoteiktais integrālis, kas ir noteikts pie integrācijas augstākā limita, atņemot nenoteikto integrāli pie zemākā integrācijas limita.

$$-\left(\frac{1}{2}\right)^{8}+\frac{12}{7}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{7}-\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{5}}{5}-\left(-0^{8}+\frac{12}{7}\times 0^{7}-0^{6}+\frac{0^{5}}{5}\right)$$

Vienkāršojiet.

$$\frac{1}{8960}$$