Atrisiniet ∫ _{1/8}^frac{1{4}}(8x+1)^2 wrt x

$$\int _ { \frac { 1 } { 8 } } ^ { \frac { 1 } { 4 } } ( 8 x + 1 ) ^ { 2 } d x$$

Izrēķināt

$$\frac{19}{24}\approx 0,791666667$$

Atrisinājuma darbības

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(8x+1\right)^{2}.

$$\int _{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}64x^{2}+16x+1\mathrm{d}x$$

Vispirms noteikt nenoteikto integrāli.

$$\int 64x^{2}+16x+1\mathrm{d}x$$

Integrēt summu terminu pēc termina.

$$\int 64x^{2}\mathrm{d}x+\int 16x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Iznest konstanti pirms iekavām katrā no terminiem.

$$64\int x^{2}\mathrm{d}x+16\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Tā kā \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 aizstāt \int x^{2}\mathrm{d}x ar \frac{x^{3}}{3}. Reiziniet 64 reiz \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{64x^{3}}{3}+16\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Tā kā \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 aizstāt \int x\mathrm{d}x ar \frac{x^{2}}{2}. Reiziniet 16 reiz \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{64x^{3}}{3}+8x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Atrast 1, kas izmanto kopējo integrāļi kārtulu tabulu \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{64x^{3}}{3}+8x^{2}+x$$

Noteiktais integrālis ir vienādojuma nenoteiktais integrālis, kas ir noteikts pie integrācijas augstākā limita, atņemot nenoteikto integrāli pie zemākā integrācijas limita.

$$\frac{64}{3}\times \left(\frac{1}{4}\right)^{3}+8\times \left(\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{1}{4}-\left(\frac{64}{3}\times \left(\frac{1}{8}\right)^{3}+8\times \left(\frac{1}{8}\right)^{2}+\frac{1}{8}\right)$$

Vienkāršojiet.

$$\frac{19}{24}$$