Atrisiniet d/dxleft(sin(x)right)

$$\frac{d}{d x } \left( \sin ( x ) \right)$$

Izrēķināt

$$\cos(x)$$

Darbības, izmantojot atvasinājuma definīciju

Funkcijai f\left(x\right) atvasinājums ir \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} robeža, jo h sniedzas līdz 0, ja šāda robeža pastāv.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

Izmantojiet sinusa summas formulu.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

Iznesiet reizinātāju \sin(x) pirms iekavām.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

Pārrakstiet robežu.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Aprēķinot robežas, izmantojiet faktu, ka x ir konstante, kad h tiecas uz 0.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Robeža \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} ir 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

Lai izrēķinātu robežu \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, vispirms reiziniet skaitītāju un saucēju ar \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Reiziniet \cos(h)+1 reiz \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Izmantojiet Pitagora identitātes.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Pārrakstiet robežu.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Robeža \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} ir 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Izmantojiet faktu, ka \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} ir nepārtraukta funkcija pie 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Aizstājiet vērtību 0 izteiksmē \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).

$$\cos(x)$$

Diferencēt pēc x

$$-\sin(x)$$