Atrisiniet x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Atrast x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -\frac{1}{2},1, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar \left(x-1\right)\left(2x+1\right), kas ir mazākais 2x+1,x-1 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Reiziniet x-1 un x-1, lai iegūtu \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Reiziniet 2x+1 un 2x+1, lai iegūtu \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x-1 ar 2x+1 un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x^{2}-x-1 ar 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Savelciet 4x^{2} un 6x^{2}, lai iegūtu 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Savelciet 4x un -3x, lai iegūtu x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Atņemiet 3 no 1, lai iegūtu -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Atņemiet 10x^{2} no abām pusēm.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Savelciet x^{2} un -10x^{2}, lai iegūtu -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Atņemiet x no abām pusēm.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Savelciet -2x un -x, lai iegūtu -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Pievienot 2 abās pusēs.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Saskaitiet 1 un 2, lai iegūtu 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -9, b ar -3 un c ar 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Kāpiniet -3 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Reiziniet 36 reiz 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Pieskaitiet 9 pie 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Skaitļa -3 pretstats ir 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 3 pie 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Daliet 3+3\sqrt{13} ar -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 3\sqrt{13} no 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Daliet 3-3\sqrt{13} ar -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -\frac{1}{2},1, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar \left(x-1\right)\left(2x+1\right), kas ir mazākais 2x+1,x-1 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Reiziniet x-1 un x-1, lai iegūtu \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Reiziniet 2x+1 un 2x+1, lai iegūtu \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x-1 ar 2x+1 un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x^{2}-x-1 ar 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Savelciet 4x^{2} un 6x^{2}, lai iegūtu 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Savelciet 4x un -3x, lai iegūtu x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Atņemiet 3 no 1, lai iegūtu -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Atņemiet 10x^{2} no abām pusēm.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Savelciet x^{2} un -10x^{2}, lai iegūtu -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Atņemiet x no abām pusēm.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Savelciet -2x un -x, lai iegūtu -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Atņemiet 1 no abām pusēm.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Atņemiet 1 no -2, lai iegūtu -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Daliet abas puses ar -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Dalīšana ar -9 atsauc reizināšanu ar -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-3}{-9} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-3}{-9} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{1}{3} ar 2, lai iegūtu \frac{1}{6}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{1}{6} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{1}{6}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Pieskaitiet \frac{1}{3} pie \frac{1}{36}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Atņemiet \frac{1}{6} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$