Atrisiniet x+1/x^2+1-1/2=0

$$\frac{ x+1 }{ { x }^{ 2 } +1 } - \frac{ 1 }{ 2 } =0$$

Atrast x

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2,414213562$$

$$x=1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Reiziniet abas vienādojuma puses ar 2\left(x^{2}+1\right), kas ir mazākais x^{2}+1,2 skaitlis, kurš dalās bez atlikuma.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2 ar x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Reiziniet 2 un -\frac{1}{2}, lai iegūtu -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Lai atrastu x^{2}+1 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Atņemiet 1 no 2, lai iegūtu 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-x^{2}+2x+1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar 2 un c ar 1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet 2 kvadrātā.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet 4 pie 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2\left(-1\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -2 pie 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Daliet -2+2\sqrt{2} ar -2.

$$x=1-\sqrt{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2\sqrt{2} no -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Daliet -2-2\sqrt{2} ar -2.

$$x=\sqrt{2}+1$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=1-\sqrt{2} x=\sqrt{2}+1$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Reiziniet abas vienādojuma puses ar 2\left(x^{2}+1\right), kas ir mazākais x^{2}+1,2 skaitlis, kurš dalās bez atlikuma.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2 ar x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Reiziniet 2 un -\frac{1}{2}, lai iegūtu -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Lai atrastu x^{2}+1 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Atņemiet 1 no 2, lai iegūtu 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Atņemiet 1 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$2x-x^{2}=-1$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x=-1$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Daliet 2 ar -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{-1}$$

Daliet -1 ar -1.

$$x^{2}-2x=1$$

Daliet locekļa x koeficientu -2 ar 2, lai iegūtu -1. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -1 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-2x+1=1+1$$

Pieskaitiet 1 pie 1.

$$x^{2}-2x+1=2$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-2x+1. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=2$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Vienkāršojiet.

$$x-1=\sqrt{2} x-1=-\sqrt{2}$$

Pieskaitiet 1 abās vienādojuma pusēs.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$