Atrisiniet x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Atrast x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 21, kas ir mazākais 7,3 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$3x+7y=105$$

Apsveriet otro vienādojumu. Reiziniet vienādojuma abas puses ar 14.

$$-x+42y=364$$

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$3x+7y=105$$

Atņemiet 7y no vienādojuma abām pusēm.

$$3x=-7y+105$$

Daliet abas puses ar 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Reiziniet \frac{1}{3} reiz -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Ar -\frac{7y}{3}+35 aizvietojiet x otrā vienādojumā -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Reiziniet -1 reiz -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Pieskaitiet \frac{7y}{3} pie 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Pieskaitiet 35 abās vienādojuma pusēs.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Daliet abas vienādojuma puses ar \frac{133}{3}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=9$$

Aizvietojiet y ar 9 vienādojumā x=-\frac{7}{3}y+35. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Reiziniet -\frac{7}{3} reiz 9.

$$x=-21+35$$

Pieskaitiet 35 pie -21.

$$x=14$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=14,y=9$$

Darbības, izmantojot matricas

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 21, kas ir mazākais 7,3 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$3x+7y=105$$

Apsveriet otro vienādojumu. Reiziniet vienādojuma abas puses ar 14.

$$-x+42y=364$$

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=14,y=9$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 21, kas ir mazākais 7,3 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$3x+7y=105$$

Apsveriet otro vienādojumu. Reiziniet vienādojuma abas puses ar 14.

$$-x+42y=364$$

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Lai vienādotu 3x un -x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar -1, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Vienkāršojiet.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Atņemiet -3x+126y=1092 no -3x-7y=-105 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Pieskaitiet -3x pie 3x. Locekļus -3x un 3x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Pieskaitiet -7y pie -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Pieskaitiet -105 pie -1092.

$$-133y=-1197$$

Daliet abas puses ar -133.

$$y=9$$

Aizvietojiet y ar 9 vienādojumā -x+42y=364. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$-x+42\times 9=364$$

Reiziniet 42 reiz 9.

$$-x+378=364$$

Atņemiet 378 no vienādojuma abām pusēm.

$$-x=-14$$

Daliet abas puses ar -1.

$$x=14$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=14,y=9$$