Atrisiniet x/5=y/4quadtext{u}quadx+y=63

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } \quad \text { u } \quad x + y = 63$$

Atrast x, y

$$x=35$$

$$y=28$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 20, kas ir mazākais 5,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$4x=5y$$

Daliet abas puses ar 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Reiziniet \frac{1}{4} reiz 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Ar \frac{5y}{4} aizvietojiet x otrā vienādojumā x+y=63.

$$\frac{5}{4}y+y=63$$

Pieskaitiet \frac{5y}{4} pie y.

$$\frac{9}{4}y=63$$

Daliet abas vienādojuma puses ar \frac{9}{4}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=28$$

Aizvietojiet y ar 28 vienādojumā x=\frac{5}{4}y. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{5}{4}\times 28$$

Reiziniet \frac{5}{4} reiz 28.

$$x=35$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=35,y=28$$

Darbības, izmantojot matricas

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 20, kas ir mazākais 5,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$4x=5y$$

Atņemiet 5y no abām pusēm.

$$4x-5y=0$$

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$4x-5y=0,x+y=63$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\63\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}4&-5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\63\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\63\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\63\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-5\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\63\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\63\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 63\\\frac{4}{9}\times 63\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\28\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=35,y=28$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 20, kas ir mazākais 5,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$4x=5y$$

Atņemiet 5y no abām pusēm.

$$4x-5y=0$$

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$4x-5y=0,x+y=63$$

Lai vienādotu 4x un x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 1, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 4.

$$4x-5y=0,4x+4y=4\times 63$$

Vienkāršojiet.

$$4x-5y=0,4x+4y=252$$

Atņemiet 4x+4y=252 no 4x-5y=0 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$4x-4x-5y-4y=-252$$

Pieskaitiet 4x pie -4x. Locekļus 4x un -4x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-5y-4y=-252$$

Pieskaitiet -5y pie -4y.

$$-9y=-252$$

Daliet abas puses ar -9.

$$y=28$$

Aizvietojiet y ar 28 vienādojumā x+y=63. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x+28=63$$

Atņemiet 28 no vienādojuma abām pusēm.

$$x=35$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=35,y=28$$