Atrisiniet x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Atrast x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 20, kas ir mazākais 5,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$4x=5y$$

Daliet abas puses ar 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Reiziniet \frac{1}{4} reiz 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Ar \frac{5y}{4} aizvietojiet x otrā vienādojumā -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Pieskaitiet -\frac{5y}{4} pie y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Reiziniet abas puses ar -4.

$$y=12$$

Aizvietojiet y ar 12 vienādojumā x=\frac{5}{4}y. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Reiziniet \frac{5}{4} reiz 12.

$$x=15$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=15,y=12$$

Darbības, izmantojot matricas

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 20, kas ir mazākais 5,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$4x=5y$$

Atņemiet 5y no abām pusēm.

$$4x-5y=0$$

Apsveriet otro vienādojumu. Reiziniet vienādojuma abas puses ar 3.

$$y=x-3$$

Atņemiet x no abām pusēm.

$$y-x=-3$$

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=15,y=12$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 20, kas ir mazākais 5,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$4x=5y$$

Atņemiet 5y no abām pusēm.

$$4x-5y=0$$

Apsveriet otro vienādojumu. Reiziniet vienādojuma abas puses ar 3.

$$y=x-3$$

Atņemiet x no abām pusēm.

$$y-x=-3$$

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Lai vienādotu 4x un -x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar -1, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Vienkāršojiet.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Atņemiet -4x+4y=-12 no -4x+5y=0 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Pieskaitiet -4x pie 4x. Locekļus -4x un 4x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$5y-4y=12$$

Pieskaitiet 5y pie -4y.

$$y=12$$

Aizvietojiet y ar 12 vienādojumā -x+y=-3. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$-x+12=-3$$

Atņemiet 12 no vienādojuma abām pusēm.

$$-x=-15$$

Daliet abas puses ar -1.

$$x=15$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=15,y=12$$