Atrisiniet x/3+y/4=4;x/2-y/4=1

$$\frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = 4 ; \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 4 } = 1$$

Atrast x, y

$$x=6$$

$$y=8$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 12, kas ir mazākais 3,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$4x+3y=48$$

Apsveriet otro vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 4, kas ir mazākais 2,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$2x-y=4$$

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$4x+3y=48$$

Atņemiet 3y no vienādojuma abām pusēm.

$$4x=-3y+48$$

Daliet abas puses ar 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+48\right)$$

Reiziniet \frac{1}{4} reiz -3y+48.

$$x=-\frac{3}{4}y+12$$

Ar -\frac{3y}{4}+12 aizvietojiet x otrā vienādojumā 2x-y=4.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+12\right)-y=4$$

Reiziniet 2 reiz -\frac{3y}{4}+12.

$$-\frac{3}{2}y+24-y=4$$

Pieskaitiet -\frac{3y}{2} pie -y.

$$-\frac{5}{2}y+24=4$$

Atņemiet 24 no vienādojuma abām pusēm.

$$-\frac{5}{2}y=-20$$

Daliet abas vienādojuma puses ar -\frac{5}{2}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=8$$

Aizvietojiet y ar 8 vienādojumā x=-\frac{3}{4}y+12. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=-\frac{3}{4}\times 8+12$$

Reiziniet -\frac{3}{4} reiz 8.

$$x=-6+12$$

Pieskaitiet 12 pie -6.

$$x=6$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=6,y=8$$

Darbības, izmantojot matricas

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 12, kas ir mazākais 3,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$4x+3y=48$$

Apsveriet otro vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 4, kas ir mazākais 2,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$2x-y=4$$

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 48+\frac{3}{10}\times 4\\\frac{1}{5}\times 48-\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=6,y=8$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 12, kas ir mazākais 3,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$4x+3y=48$$

Apsveriet otro vienādojumu. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 4, kas ir mazākais 2,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$2x-y=4$$

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Lai vienādotu 4x un 2x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 2, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 48,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4$$

Vienkāršojiet.

$$8x+6y=96,8x-4y=16$$

Atņemiet 8x-4y=16 no 8x+6y=96 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$8x-8x+6y+4y=96-16$$

Pieskaitiet 8x pie -8x. Locekļus 8x un -8x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$6y+4y=96-16$$

Pieskaitiet 6y pie 4y.

$$10y=96-16$$

Pieskaitiet 96 pie -16.

$$10y=80$$

Daliet abas puses ar 10.

$$y=8$$

Aizvietojiet y ar 8 vienādojumā 2x-y=4. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$2x-8=4$$

Pieskaitiet 8 abās vienādojuma pusēs.

$$2x=12$$

Daliet abas puses ar 2.

$$x=6$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=6,y=8$$