Atrisiniet x^2-4x-1/(x^2+1)^2=0

$$\frac { x ^ { 2 } - 4 x - 1 } { ( x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = 0$$

Atrast x

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Reiziniet vienādojuma abas puses ar \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar -4 un c ar -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kāpiniet -4 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

Pieskaitiet 16 pie 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

Skaitļa -4 pretstats ir 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 4 pie 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

Daliet 4+2\sqrt{5} ar 2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2\sqrt{5} no 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

Daliet 4-2\sqrt{5} ar 2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Reiziniet vienādojuma abas puses ar \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Pievienot 1 abās pusēs. Jebkuram skaitlim pieskaitot nulli, iegūst to pašu skaitli.

$$x^{2}-4x=1$$

Daliet locekļa x koeficientu -4 ar 2, lai iegūtu -2. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -2 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

Kāpiniet -2 kvadrātā.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Pieskaitiet 1 pie 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-4x+4. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Vienkāršojiet.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Pieskaitiet 2 abās vienādojuma pusēs.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$