Atrisiniet x^2/9-4/3x=-2

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

Atrast x

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10,242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1,757359313$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Pieskaitiet 2 abās vienādojuma pusēs.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

Atņemot -2 no sevis, paliek 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

Atņemiet -2 no 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar \frac{1}{9}, b ar -\frac{4}{3} un c ar 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{4}{3}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Reiziniet -4 reiz \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Reiziniet -\frac{4}{9} reiz 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Pieskaitiet \frac{16}{9} pie -\frac{8}{9}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Izvelciet kvadrātsakni no \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Skaitļa -\frac{4}{3} pretstats ir \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Reiziniet 2 reiz \frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet \frac{4}{3} pie \frac{2\sqrt{2}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Daliet \frac{4+2\sqrt{2}}{3} ar \frac{2}{9}, reizinot \frac{4+2\sqrt{2}}{3} ar apgriezto daļskaitli \frac{2}{9} .

$$x=3\sqrt{2}+6$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet \frac{2\sqrt{2}}{3} no \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Daliet \frac{4-2\sqrt{2}}{3} ar \frac{2}{9}, reizinot \frac{4-2\sqrt{2}}{3} ar apgriezto daļskaitli \frac{2}{9} .

$$x=6-3\sqrt{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Reiziniet abas puses ar 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Dalīšana ar \frac{1}{9} atsauc reizināšanu ar \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Daliet -\frac{4}{3} ar \frac{1}{9}, reizinot -\frac{4}{3} ar apgriezto daļskaitli \frac{1}{9} .

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Daliet -2 ar \frac{1}{9}, reizinot -2 ar apgriezto daļskaitli \frac{1}{9} .

$$x^{2}-12x=-18$$

Daliet locekļa x koeficientu -12 ar 2, lai iegūtu -6. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -6 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

Kāpiniet -6 kvadrātā.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

Pieskaitiet -18 pie 36.

$$x^{2}-12x+36=18$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-12x+36. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Vienkāršojiet.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

Pieskaitiet 6 abās vienādojuma pusēs.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$