Atrisiniet 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Atrast x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -15,0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 4x\left(x+15\right), kas ir mazākais x,x+15,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4x+60 ar 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Reiziniet 4 un 75, lai iegūtu 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Reiziniet 4 un \frac{1}{4}, lai iegūtu 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x ar x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Savelciet 300x un 15x, lai iegūtu 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Atņemiet 315x no abām pusēm.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Savelciet 300x un -315x, lai iegūtu -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -x^{2}+ax+bx+4500. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -15.

$$a=60 b=-75$$

Pārrakstiet -x^{2}-15x+4500 kā \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Sadaliet x pirmo un 75 otrajā grupā.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju -x+60 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet -x+60=0 un x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -15,0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 4x\left(x+15\right), kas ir mazākais x,x+15,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4x+60 ar 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Reiziniet 4 un 75, lai iegūtu 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Reiziniet 4 un \frac{1}{4}, lai iegūtu 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x ar x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Savelciet 300x un 15x, lai iegūtu 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Atņemiet 315x no abām pusēm.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Savelciet 300x un -315x, lai iegūtu -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar -15 un c ar 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet -15 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 4 reiz 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet 225 pie 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Skaitļa -15 pretstats ir 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{15±135}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 15 pie 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Daliet 150 ar -2.

$$x=-75$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{15±135}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 135 no 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Daliet -120 ar -2.

$$x=60$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-75 x=60$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -15,0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 4x\left(x+15\right), kas ir mazākais x,x+15,4 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4x+60 ar 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Reiziniet 4 un 75, lai iegūtu 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Reiziniet 4 un \frac{1}{4}, lai iegūtu 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x ar x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Savelciet 300x un 15x, lai iegūtu 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Atņemiet 315x no abām pusēm.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Savelciet 300x un -315x, lai iegūtu -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Atņemiet 4500 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Daliet -15 ar -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Daliet -4500 ar -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Daliet locekļa x koeficientu 15 ar 2, lai iegūtu \frac{15}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{15}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{15}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Pieskaitiet 4500 pie \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Atņemiet \frac{15}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=60 x=-75$$