Atrisiniet 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Atrast x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet vienādojuma abas puses ar 2.

$$3x+2y=22$$

Apsveriet otro vienādojumu. Reiziniet vienādojuma abas puses ar 2.

$$2x+y=14$$

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$3x+2y=22$$

Atņemiet 2y no vienādojuma abām pusēm.

$$3x=-2y+22$$

Daliet abas puses ar 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Reiziniet \frac{1}{3} reiz -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Ar \frac{-2y+22}{3} aizvietojiet x otrā vienādojumā 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Reiziniet 2 reiz \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Pieskaitiet -\frac{4y}{3} pie y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Atņemiet \frac{44}{3} no vienādojuma abām pusēm.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Reiziniet abas puses ar -3.

$$y=2$$

Aizvietojiet y ar 2 vienādojumā x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Reiziniet -\frac{2}{3} reiz 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Pieskaitiet \frac{22}{3} pie -\frac{4}{3}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=6$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=6,y=2$$

Darbības, izmantojot matricas

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet vienādojuma abas puses ar 2.

$$3x+2y=22$$

Apsveriet otro vienādojumu. Reiziniet vienādojuma abas puses ar 2.

$$2x+y=14$$

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=6,y=2$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Reiziniet vienādojuma abas puses ar 2.

$$3x+2y=22$$

Apsveriet otro vienādojumu. Reiziniet vienādojuma abas puses ar 2.

$$2x+y=14$$

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Lai vienādotu 3x un 2x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 2, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Vienkāršojiet.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Atņemiet 6x+3y=42 no 6x+4y=44 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Pieskaitiet 6x pie -6x. Locekļus 6x un -6x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$4y-3y=44-42$$

Pieskaitiet 4y pie -3y.

$$y=44-42$$

Pieskaitiet 44 pie -42.

$$y=2$$

Aizvietojiet y ar 2 vienādojumā 2x+y=14. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$2x+2=14$$

Atņemiet 2 no vienādojuma abām pusēm.

$$2x=12$$

Daliet abas puses ar 2.

$$x=6$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=6,y=2$$