Atrisiniet 2x+1/x=4x

$$\frac { 2 x + 1 } { x } = 4 x$$

Atrast x

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0,809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0,309016994$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Mainīgais x nevar būt vienāds ar 0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet vienādojuma abas puses ar x.

$$2x+1=4xx$$

Reiziniet x un x, lai iegūtu x^{2}.

$$2x+1=4x^{2}$$

Atņemiet 4x^{2} no abām pusēm.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-4x^{2}+2x+1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -4, b ar 2 un c ar 1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kāpiniet 2 kvadrātā.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2\left(-4\right)}$$

Pieskaitiet 4 pie 16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{20}}{2\left(-4\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 20.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -2 pie 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-2}{-8}$$

Daliet -2+2\sqrt{5} ar -8.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2\sqrt{5} no -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-2}{-8}$$

Daliet -2-2\sqrt{5} ar -8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4} x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Mainīgais x nevar būt vienāds ar 0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet vienādojuma abas puses ar x.

$$2x+1=4xx$$

Reiziniet x un x, lai iegūtu x^{2}.

$$2x+1=4x^{2}$$

Atņemiet 4x^{2} no abām pusēm.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Atņemiet 1 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$2x-4x^{2}=-1$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+2x=-1$$

Daliet abas puses ar -4.

$$\frac{-4x^{2}+2x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Dalīšana ar -4 atsauc reizināšanu ar -4.

$$x^{2}+\frac{2}{-4}x=-\frac{1}{-4}$$

Vienādot daļskaitli \frac{2}{-4} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-4}$$

Daliet -1 ar -4.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{1}{2} ar 2, lai iegūtu -\frac{1}{4}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{1}{4} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{1}{4}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Pieskaitiet \frac{1}{4} pie \frac{1}{16}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Pieskaitiet \frac{1}{4} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$