Atrisiniet 1/x-1+1/x+1=4

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x + 1 } = 4$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{4} \approx 1,280776406$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{4}\approx -0,780776406$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -1,1, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar \left(x-1\right)\left(x+1\right), kas ir mazākais x-1,x+1 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$x+1+x-1=4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Savelciet x un x, lai iegūtu 2x.

$$2x+1-1=4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Atņemiet 1 no 1, lai iegūtu 0.

$$2x=4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4 ar x-1.

$$2x=\left(4x-4\right)\left(x+1\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4x-4 ar x+1 un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$2x=4x^{2}-4$$

Atņemiet 4x^{2} no abām pusēm.

$$2x-4x^{2}=-4$$

Pievienot 4 abās pusēs.

$$2x-4x^{2}+4=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-4x^{2}+2x+4=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -4, b ar 2 un c ar 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)\times 4}}{2\left(-4\right)}$$

Kāpiniet 2 kvadrātā.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)\times 4}}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16\times 4}}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet 16 reiz 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+64}}{2\left(-4\right)}$$

Pieskaitiet 4 pie 64.

$$x=\frac{-2±\sqrt{68}}{2\left(-4\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 68.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}}{-8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-2±2\sqrt{17}}{-8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -2 pie 2\sqrt{17}.

$$x=\frac{2\sqrt{17}-2}{-8}$$

Daliet -2+2\sqrt{17} ar -8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-2±2\sqrt{17}}{-8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2\sqrt{17} no -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}-2}{-8}$$

Daliet -2-2\sqrt{17} ar -8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{4}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{4} x=\frac{\sqrt{17}+1}{4}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -1,1, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar \left(x-1\right)\left(x+1\right), kas ir mazākais x-1,x+1 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$x+1+x-1=4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Savelciet x un x, lai iegūtu 2x.

$$2x+1-1=4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Atņemiet 1 no 1, lai iegūtu 0.

$$2x=4\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4 ar x-1.

$$2x=\left(4x-4\right)\left(x+1\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4x-4 ar x+1 un apvienotu līdzīgos locekļus.

$$2x=4x^{2}-4$$

Atņemiet 4x^{2} no abām pusēm.

$$2x-4x^{2}=-4$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+2x=-4$$

Daliet abas puses ar -4.

$$\frac{-4x^{2}+2x}{-4}=-\frac{4}{-4}$$

Dalīšana ar -4 atsauc reizināšanu ar -4.

$$x^{2}+\frac{2}{-4}x=-\frac{4}{-4}$$

Vienādot daļskaitli \frac{2}{-4} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{4}{-4}$$

Daliet -4 ar -4.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=1$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{1}{2} ar 2, lai iegūtu -\frac{1}{4}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{1}{4} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{1}{4}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=1+\frac{1}{16}$$

Pieskaitiet 1 pie \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{17}{16}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{17}{16}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{16}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{17}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{17}}{4}$$

Pieskaitiet \frac{1}{4} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$$