Atrisiniet 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -1,1, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar \left(x-1\right)\left(x+1\right), kas ir mazākais x+1,x-1,x^{2}-1 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x+1 ar 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Savelciet x un 2x, lai iegūtu 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Saskaitiet -1 un 2, lai iegūtu 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Atņemiet 2x no abām pusēm.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Savelciet 3x un -2x, lai iegūtu x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar 1 un c ar 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet 1 kvadrātā.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet 1 pie 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -1 pie \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Daliet -1+\sqrt{5} ar -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet \sqrt{5} no -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Daliet -1-\sqrt{5} ar -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -1,1, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar \left(x-1\right)\left(x+1\right), kas ir mazākais x+1,x-1,x^{2}-1 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x+1 ar 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Savelciet x un 2x, lai iegūtu 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Saskaitiet -1 un 2, lai iegūtu 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Atņemiet 2x no abām pusēm.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Savelciet 3x un -2x, lai iegūtu x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Atņemiet 1 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$x-x^{2}=-1$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Daliet 1 ar -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Daliet -1 ar -1.

$$x^{2}-x=1$$

Daliet locekļa x koeficientu -1 ar 2, lai iegūtu -\frac{1}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{1}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{1}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Pieskaitiet 1 pie \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-x+\frac{1}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Pieskaitiet \frac{1}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$