सोडोवचें x^2+x+1+11/x^2+x-1=14

$$x ^ { 2 } + x + 1 + \frac { 11 } { x ^ { 2 } + x - 1 } = 14$$

x खातीर सोडोवचें

$$x=-2$$

$$x=1$$

$$x=3$$

$$x=-4$$

सोडोवणी पांवडे

\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right) वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

वितरक गूणधर्माचो वापर करून x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} क x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} न गुणचें आनी संज्ञां भशेन एकठावणी करची.

$$\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\sqrt{5} चो वर्ग 5 आसा.

$$\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{5}{4} मेळोवंक -\frac{1}{4} आनी 5 गुणचें.

$$\left(x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-1 मेळोवंक -\frac{5}{4} आनी \frac{1}{4} ची बेरीज करची.

$$\left(x^{2}+x-1\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

x^{2} न x^{2}+x-1 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

वितरक गूणधर्माचो वापर करून x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} क x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} न गुणचें आनी संज्ञां भशेन एकठावणी करची.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\sqrt{5} चो वर्ग 5 आसा.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{5}{4} मेळोवंक -\frac{1}{4} आनी 5 गुणचें.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-1 मेळोवंक -\frac{5}{4} आनी \frac{1}{4} ची बेरीज करची.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-1\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

x न x^{2}+x-1 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+x^{3}+x^{2}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

2x^{3} मेळोवंक x^{3} आनी x^{3} एकठांय करचें.

$$x^{4}+2x^{3}-x^{2}+x^{2}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

0 मेळोवंक -x^{2} आनी x^{2} एकठांय करचें.

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

वितरक गूणधर्माचो वापर करून x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} क x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} न गुणचें आनी संज्ञां भशेन एकठावणी करची.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\sqrt{5} चो वर्ग 5 आसा.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{5}{4} मेळोवंक -\frac{1}{4} आनी 5 गुणचें.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-1 मेळोवंक -\frac{5}{4} आनी \frac{1}{4} ची बेरीज करची.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-1+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

0 मेळोवंक -x आनी x एकठांय करचें.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

10 मेळोवंक -1 आनी 11 ची बेरीज करची.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)$$

x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} न 14 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=\left(14x+7\sqrt{5}+7\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)$$

वितरक गूणधर्माचो वापर करून 14x+7\sqrt{5}+7 क x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} न गुणचें आनी संज्ञां भशेन एकठावणी करची.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{7}{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{7}{2}$$

\sqrt{5} चो वर्ग 5 आसा.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{7}{2}\times 5+\frac{7}{2}$$

-\frac{35}{2} मेळोवंक -\frac{7}{2} आनी 5 गुणचें.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{35}{2}+\frac{7}{2}$$

-14 मेळोवंक -\frac{35}{2} आनी \frac{7}{2} ची बेरीज करची.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-14$$

दोनूय कुशींतल्यान 14x^{2} वजा करचें.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10-14x^{2}=14x-14$$

-13x^{2} मेळोवंक x^{2} आनी -14x^{2} एकठांय करचें.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10=14x-14$$

दोनूय कुशींतल्यान 14x वजा करचें.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10-14x=-14$$

दोनूय वटांनी 14 जोडचे.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10-14x+14=0$$

24 मेळोवंक 10 आनी 14 ची बेरीज करची.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+24-14x=0$$

प्रमाणित पद्दतीन घेवंक समिकरण परतून मांडचें. सामके व्हड ते सामके ल्हान पॉवर अशा क्रमान संज्ञा मांडच्यो.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24=0$$

रॅशनल रूट थियरम प्रमाणें, पोलिनोमियलाचे सगळे रॅशनल रुट्स मुखावयल्या स्वरुपात आसतात \frac{p}{q}, जंय p थीर संज्ञेक भाग लायता 24 आनी q भागता पुरक 1. सगळे उमेदवारांची सुची \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

सगळीं पूर्णांक मोलां यत्न करून तसो एक मूळ सोदून काडचो, ल्हानातल्यान सुरू करूंन निव्वळ शून्य. पूर्णांक मुळां मेळूंक नासल्यार परत यत्न करचो.

$$x=1$$

फॅक्टर थियरमा प्रमाणें, x-k दरेक रूट खातीर पोलिनोमियल फॅक्टर करात k. x^{3}+3x^{2}-10x-24 मेळोवंक x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24 क x-1 न भाग लावचो. समिकरण सोडोवंक, निकाल हाचे समान 0.

$$x^{3}+3x^{2}-10x-24=0$$

रॅशनल रूट थियरम प्रमाणें, पोलिनोमियलाचे सगळे रॅशनल रुट्स मुखावयल्या स्वरुपात आसतात \frac{p}{q}, जंय p थीर संज्ञेक भाग लायता -24 आनी q भागता पुरक 1. सगळे उमेदवारांची सुची \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

सगळीं पूर्णांक मोलां यत्न करून तसो एक मूळ सोदून काडचो, ल्हानातल्यान सुरू करूंन निव्वळ शून्य. पूर्णांक मुळां मेळूंक नासल्यार परत यत्न करचो.

$$x=-2$$

फॅक्टर थियरमा प्रमाणें, x-k दरेक रूट खातीर पोलिनोमियल फॅक्टर करात k. x^{2}+x-12 मेळोवंक x^{3}+3x^{2}-10x-24 क x+2 न भाग लावचो. समिकरण सोडोवंक, निकाल हाचे समान 0.

$$x^{2}+x-12=0$$

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 चीं सगळीं समिकरणां क्वॉड्रेटिक फॉर्मूला वापरून सोडोवंक शकतात: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. क्वॉड्रेटिक फॉर्मूलात a च्या सुवातेर 1 घेवचो, b खातीर 1, आनी c खातीर -12 घेवचो.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-12\right)}}{2}$$

मेजणी करची.

$$x=\frac{-1±7}{2}$$

जेन्ना ± हो अदीक आनी जेन्ना ± वजा आसता तेन्ना x^{2}+x-12=0 समिकरण सोडोवचें.

$$x=-4 x=3$$

सगळीं समाधानां प्राप्त सुची.

$$x=1 x=-2 x=-4 x=3$$