सोडोवचें {8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$8x+2y=46$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$8x=-2y+46$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

-2y+46क \frac{1}{8} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

7x+3y=47 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+23}{4} बदलपी घेवचो.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

\frac{-y+23}{4}क 7 फावटी गुणचें.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

3y कडेन -\frac{7y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{161}{4} वजा करचें.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

\frac{5}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{27}{5}$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4} त y खातीर \frac{27}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{27}{5} क -\frac{1}{4} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{27}{20} क \frac{23}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{22}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

8x आनी 7x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न गुणचें.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

सोंपें करचें.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 56x+14y=322 तल्यान 56x+24y=376 वजा करचो.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

-56x कडेन 56x ची बेरीज करची. अटी 56x आनी -56x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$14y-24y=322-376$$

-24y कडेन 14y ची बेरीज करची.

$$-10y=322-376$$

-376 कडेन 322 ची बेरीज करची.

$$-10y=-54$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$y=\frac{27}{5}$$

7x+3y=47 त y खातीर \frac{27}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

\frac{27}{5}क 3 फावटी गुणचें.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{81}{5} वजा करचें.

$$7x=\frac{154}{5}$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=\frac{22}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$