सोडोवचें x+3y=6,2x-3y=12

$$x + 3 y = 6,2 x - 3 y = 12$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=6$$

$$y=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+3y=6,2x-3y=12$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+3y=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$x=-3y+6$$

2x-3y=12 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -3y+6 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-3y+6\right)-3y=12$$

-3y+6क 2 फावटी गुणचें.

$$-6y+12-3y=12$$

-3y कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$-9y+12=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 वजा करचें.

$$-9y=0$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$y=0$$

x=-3y+6 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=0$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+3y=6,2x-3y=12$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3\times 2}&-\frac{3}{-3-3\times 2}\\-\frac{2}{-3-3\times 2}&\frac{1}{-3-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{1}{3}\times 12\\\frac{2}{9}\times 6-\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=6,y=0$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+3y=6,2x-3y=12$$

x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$2x+2\times 3y=2\times 6,2x-3y=12$$

सोंपें करचें.

$$2x+6y=12,2x-3y=12$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+6y=12 तल्यान 2x-3y=12 वजा करचो.

$$2x-2x+6y+3y=12-12$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6y+3y=12-12$$

3y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$9y=12-12$$

-12 कडेन 12 ची बेरीज करची.

$$9y=0$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$y=0$$

2x-3y=12 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x=12$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=0$$