सोडोवचें n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

n खातीर सोडोवचें

$$n=-4$$

$$n=15$$

फॅक्टरींग वापरून कृती

गणीत सोडोवंक, n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) सिध्दांत वापरून n^{2}-11n-60 घटक. a आनी b मेळोवंक, सोडोवंक यंत्रणां मांडची.

$$a+b=-11 ab=-60$$

ab नकारात्मक आसा देखून, a आनी b क विरूध्द चिन्हां आसात. a+b नकारात्मक आसा, नकारात्मक संख्येक सकारात्मक संख्येच्या परस चड निव्वळ मोल आसता. गुणक दिवपी तत्सम जोडयांची सुची -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

दरेक जोडयेखातीर गणीत मेजचें.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

जोडयेचें उत्तर जें दिता गणीत -11.

$$a=-15 b=4$$

\left(n+a\right)\left(n+b\right) मेळिल्ले मोलां वापरून फॅक्टर केल्लें एक्सप्रेशन परत बरोवचें.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

गणीताचें उत्तर सोदूंक, सोडोवचें n-15=0 आनी n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

गट करून फॅक्टरींक वापरून कृती

गणीत सोडोवंक, गट करून दाव्या हातान घटक. पयलीं, दावी बाजू n^{2}+an+bn-60 म्हूण परत बरोवंक जाय आसा. a आनी b मेळोवंक, सोडोवंक यंत्रणां मांडची.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab नकारात्मक आसा देखून, a आनी b क विरूध्द चिन्हां आसात. a+b नकारात्मक आसा, नकारात्मक संख्येक सकारात्मक संख्येच्या परस चड निव्वळ मोल आसता. गुणक दिवपी तत्सम जोडयांची सुची -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

दरेक जोडयेखातीर गणीत मेजचें.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

जोडयेचें उत्तर जें दिता गणीत -11.

$$a=-15 b=4$$

n^{2}-11n-60 हें \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) बरोवचें.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

पयल्यात nफॅक्टर आवट आनी 4 दुस-या गटात.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

फॅक्टर आवट सामान्य शब्द n-15 वितरीत गूणधर्म वापरून.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

गणीताचें उत्तर सोदूंक, सोडोवचें n-15=0 आनी n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

क्वॉड्रेटिक सिध्दांत वापरून पांवडे

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 चीं सगळीं समिकरणां क्वॉड्रेटिक सिध्दांत: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} वापरून सोडोवंक शकतात. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत दोन सोडोवणी दितात, एक जेन्ना ± बेरीज आसा आनी एक जेन्ना ती वजा आसता.

$$n^{2}-11n-60=0$$

हें समिकरण प्रमाणित पद्दतीन आसा: ax^{2}+bx+c=0. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} त a खातीर 1, b खातीर -11 आनी c खातीर -60 बदली घेवचे.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

-11 वर्गमूळ.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-60क -4 फावटी गुणचें.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

240 कडेन 121 ची बेरीज करची.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

361 चें वर्गमूळ घेवचें.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 च्या विरुध्दार्थी अंक 11 आसा.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

जेन्ना ± अदीक आस्ता तेन्ना समिकरण n=\frac{11±19}{2} सोडोवचें. 19 कडेन 11 ची बेरीज करची.

$$n=\frac{30}{2}$$

2 न30 क भाग लावचो.

$$n=15$$

जेन्ना ± वजा आस्ता तेन्ना समिकरण n=\frac{11±19}{2} सोडोवचें. 11 तल्यान 19 वजा करची.

$$n=-\frac{8}{2}$$

2 न-8 क भाग लावचो.

$$n=-4$$

समिकरण आतां सुटावें जालें.

$$n=15 n=-4$$

वर्ग पुराय करूंक पांवडे

ह्या सारकें क्वॉड्रेटिक समिकरण वर्ग पुराय करून सोडोवंक शकतात. वर्ग पुराय करूंक, समिकरण x^{2}+bx=c स्वरूपांत आसूंक जाय.

$$n^{2}-11n-60=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 60 ची बेरीज करची.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

तातूंतल्यानूच -60 वजा केल्यार 0 उरता.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

0 तल्यान -60 वजा करची.

$$n^{2}-11n=60$$

-\frac{11}{2} मेळपा खातीर 2 न x संज्ञेचो कोऐफिशियंट आशिल्लो -11 क भाग लावचो. मागीर समिकरणाच्या दोनूय कुशींनी -\frac{11}{2} च्या वर्गाची बेरीज करची. हो पांवडो समिकरणाचे दावे कुशीक एक जुस्त वर्ग करता.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

अपूर्णांकांचो गणक आनी भाजक हांकां दोनांकूय वर्गमूळ लावन -\frac{11}{2} क वर्गमूळ लावचें.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

\frac{121}{4} कडेन 60 ची बेरीज करची.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

गुणकपद n^{2}-11n+\frac{121}{4}. सामान्यपणान, जेन्नाx^{2}+bx+c अचूक वर्ग आसात, तो सदांच\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}गुणकपद करूं येता.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींनी वर्गमूळ काडचो.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

सोंपें करचें.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{11}{2} ची बेरीज करची.

$$n=15 n=-4$$