सोडोवचें ax+3y=15text{ve}3x+by=4d

$$a x + 3 y = 15 \text { ve } 3 x + b y = 4 d$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right.$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$ax+3y=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$ax=-3y+15$$

दोनुय कुशींक a न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)$$

-3y+15क \frac{1}{a} फावटी गुणचें.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}$$

3x+by=4d ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3\left(5-y\right)}{a} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d$$

\frac{3\left(5-y\right)}{a}क 3 फावटी गुणचें.

$$\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d$$

by कडेन -\frac{9y}{a} ची बेरीज करची.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{45}{a} वजा करचें.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}$$

दोनुय कुशींक b-\frac{9}{a} न भाग लावचो.

$$y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a} त y खातीर \frac{4da-45}{ba-9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}$$

\frac{4da-45}{ba-9}क -\frac{3}{a} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}$$

-\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)} कडेन \frac{15}{a} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

ax आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक a न गुणचें.

$$3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d$$

सोंपें करचें.

$$3ax+9y=45,3ax+aby=4ad$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3ax+9y=45 तल्यान 3ax+aby=4ad वजा करचो.

$$3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

-3ax कडेन 3ax ची बेरीज करची. अटी 3ax आनी -3ax रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

-aby कडेन 9y ची बेरीज करची.

$$\left(9-ab\right)y=45-4ad$$

दोनुय कुशींक 9-ab न भाग लावचो.

$$y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

3x+by=4d त y खातीर \frac{45-4ad}{9-ab} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d$$

\frac{45-4ad}{9-ab}क b फावटी गुणचें.

$$3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} वजा करचें.

$$3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$