सोडोवचें 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-2y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$5x=2y+1$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

2y+1क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

3x+5y=13 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{2y+1}{5} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

\frac{2y+1}{5}क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

5y कडेन \frac{6y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{5} वजा करचें.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

\frac{31}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=2$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5} त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

2क \frac{2}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{4}{5} क \frac{1}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

5x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

सोंपें करचें.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 15x-6y=3 तल्यान 15x+25y=65 वजा करचो.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

-15x कडेन 15x ची बेरीज करची. अटी 15x आनी -15x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-6y-25y=3-65$$

-25y कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$-31y=3-65$$

-65 कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$-31y=-62$$

दोनुय कुशींक -31 न भाग लावचो.

$$y=2$$

3x+5y=13 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+5\times 2=13$$

2क 5 फावटी गुणचें.

$$3x+10=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$3x=3$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=2$$