सोडोवचें 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

x खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

गट करून फॅक्टरींक वापरून कृती

गणीत सोडोवंक, गट करून दाव्या हातान घटक. पयलीं, दावी बाजू 42x^{2}+ax+bx-3 म्हूण परत बरोवंक जाय आसा. a आनी b मेळोवंक, सोडोवंक यंत्रणां मांडची.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

ab नकारात्मक आसा देखून, a आनी b क विरूध्द चिन्हां आसात. a+b नकारात्मक आसा, नकारात्मक संख्येक सकारात्मक संख्येच्या परस चड निव्वळ मोल आसता. गुणक दिवपी तत्सम जोडयांची सुची -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

दरेक जोडयेखातीर गणीत मेजचें.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

जोडयेचें उत्तर जें दिता गणीत -5.

$$a=-14 b=9$$

42x^{2}-5x-3 हें \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right) बरोवचें.

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

पयल्यात 14xफॅक्टर आवट आनी 3 दुस-या गटात.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

फॅक्टर आवट सामान्य शब्द 3x-1 वितरीत गूणधर्म वापरून.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

गणीताचें उत्तर सोदूंक, सोडोवचें 3x-1=0 आनी 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

क्वॉड्रेटिक सिध्दांत वापरून पांवडे

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 चीं सगळीं समिकरणां क्वॉड्रेटिक सिध्दांत: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} वापरून सोडोवंक शकतात. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत दोन सोडोवणी दितात, एक जेन्ना ± बेरीज आसा आनी एक जेन्ना ती वजा आसता.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

हें समिकरण प्रमाणित पद्दतीन आसा: ax^{2}+bx+c=0. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} त a खातीर 42, b खातीर -5 आनी c खातीर -3 बदली घेवचे.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-5 वर्गमूळ.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

42क -4 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-3क -168 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

504 कडेन 25 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

529 चें वर्गमूळ घेवचें.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

-5 च्या विरुध्दार्थी अंक 5 आसा.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

42क 2 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

जेन्ना ± अदीक आस्ता तेन्ना समिकरण x=\frac{5±23}{84} सोडोवचें. 23 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{28}{84}$$

28 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{28}{84} उणो करचो.

$$x=\frac{1}{3}$$

जेन्ना ± वजा आस्ता तेन्ना समिकरण x=\frac{5±23}{84} सोडोवचें. 5 तल्यान 23 वजा करची.

$$x=-\frac{18}{84}$$

6 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{-18}{84} उणो करचो.

$$x=-\frac{3}{14}$$

समिकरण आतां सुटावें जालें.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

वर्ग पुराय करूंक पांवडे

ह्या सारकें क्वॉड्रेटिक समिकरण वर्ग पुराय करून सोडोवंक शकतात. वर्ग पुराय करूंक, समिकरण x^{2}+bx=c स्वरूपांत आसूंक जाय.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

तातूंतल्यानूच -3 वजा केल्यार 0 उरता.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

0 तल्यान -3 वजा करची.

$$42x^{2}-5x=3$$

दोनुय कुशींक 42 न भाग लावचो.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

42 वरवीं भागाकार केल्यार 42 वरवीं केल्लो गुणाकार काडटा.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

3 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{3}{42} उणो करचो.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

-\frac{5}{84} मेळपा खातीर 2 न x संज्ञेचो कोऐफिशियंट आशिल्लो -\frac{5}{42} क भाग लावचो. मागीर समिकरणाच्या दोनूय कुशींनी -\frac{5}{84} च्या वर्गाची बेरीज करची. हो पांवडो समिकरणाचे दावे कुशीक एक जुस्त वर्ग करता.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

अपूर्णांकांचो गणक आनी भाजक हांकां दोनांकूय वर्गमूळ लावन -\frac{5}{84} क वर्गमूळ लावचें.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{25}{7056} क \frac{1}{14} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056} गुणकपद. सामान्यपणान, जेन्ना x^{2}+bx+c हो जुस्त वर्ग आसता तेन्ना, तो सदांच \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} म्हूण गुणकपद करूं येता.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींनी वर्गमूळ काडचो.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

सोंपें करचें.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{84} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$