सोडोवचें 4x-9y=12text{y}2x+6y=-1

$$4 x - 9 y = 12 \text { y } 2 x + 6 y = - 1$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x-9y=12,2x+6y=-1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x-9y=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9y ची बेरीज करची.

$$4x=9y+12$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(9y+12\right)$$

9y+12क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{9}{4}y+3$$

2x+6y=-1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{9y}{4}+3 बदलपी घेवचो.

$$2\left(\frac{9}{4}y+3\right)+6y=-1$$

\frac{9y}{4}+3क 2 फावटी गुणचें.

$$\frac{9}{2}y+6+6y=-1$$

6y कडेन \frac{9y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{21}{2}y+6=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 वजा करचें.

$$\frac{21}{2}y=-7$$

\frac{21}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{2}{3}$$

x=\frac{9}{4}y+3 त y खातीर -\frac{2}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{9}{4}\left(-\frac{2}{3}\right)+3$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{2}{3} क \frac{9}{4} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

-\frac{3}{2} कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{3}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{2}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x-9y=12,2x+6y=-1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-9\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}&-\frac{-9}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 6-\left(-9\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{14}\\-\frac{1}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 12+\frac{3}{14}\left(-1\right)\\-\frac{1}{21}\times 12+\frac{2}{21}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{2}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x-9y=12,2x+6y=-1$$

4x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$2\times 4x+2\left(-9\right)y=2\times 12,4\times 2x+4\times 6y=4\left(-1\right)$$

सोंपें करचें.

$$8x-18y=24,8x+24y=-4$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x-18y=24 तल्यान 8x+24y=-4 वजा करचो.

$$8x-8x-18y-24y=24+4$$

-8x कडेन 8x ची बेरीज करची. अटी 8x आनी -8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-18y-24y=24+4$$

-24y कडेन -18y ची बेरीज करची.

$$-42y=24+4$$

4 कडेन 24 ची बेरीज करची.

$$-42y=28$$

दोनुय कुशींक -42 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{2}{3}$$

2x+6y=-1 त y खातीर -\frac{2}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+6\left(-\frac{2}{3}\right)=-1$$

-\frac{2}{3}क 6 फावटी गुणचें.

$$2x-4=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$2x=3$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{3}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{2}{3}$$