सोडोवचें 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

x खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

गट करून फॅक्टरींक वापरून कृती

गणीत सोडोवंक, गट करून दाव्या हातान घटक. पयलीं, दावी बाजू 4x^{2}+ax+bx-27 म्हूण परत बरोवंक जाय आसा. a आनी b मेळोवंक, सोडोवंक यंत्रणां मांडची.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

ab नकारात्मक आसा देखून, a आनी b क विरूध्द चिन्हां आसात. a+b नकारात्मक आसा, नकारात्मक संख्येक सकारात्मक संख्येच्या परस चड निव्वळ मोल आसता. गुणक दिवपी तत्सम जोडयांची सुची -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

दरेक जोडयेखातीर गणीत मेजचें.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

जोडयेचें उत्तर जें दिता गणीत -12.

$$a=-18 b=6$$

4x^{2}-12x-27 हें \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right) बरोवचें.

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

पयल्यात 2xफॅक्टर आवट आनी 3 दुस-या गटात.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

फॅक्टर आवट सामान्य शब्द 2x-9 वितरीत गूणधर्म वापरून.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

गणीताचें उत्तर सोदूंक, सोडोवचें 2x-9=0 आनी 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

क्वॉड्रेटिक सिध्दांत वापरून पांवडे

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 चीं सगळीं समिकरणां क्वॉड्रेटिक सिध्दांत: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} वापरून सोडोवंक शकतात. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत दोन सोडोवणी दितात, एक जेन्ना ± बेरीज आसा आनी एक जेन्ना ती वजा आसता.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

हें समिकरण प्रमाणित पद्दतीन आसा: ax^{2}+bx+c=0. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} त a खातीर 4, b खातीर -12 आनी c खातीर -27 बदली घेवचे.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-12 वर्गमूळ.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

4क -4 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-27क -16 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

432 कडेन 144 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

576 चें वर्गमूळ घेवचें.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

-12 च्या विरुध्दार्थी अंक 12 आसा.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

4क 2 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

जेन्ना ± अदीक आस्ता तेन्ना समिकरण x=\frac{12±24}{8} सोडोवचें. 24 कडेन 12 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{36}{8}$$

4 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{36}{8} उणो करचो.

$$x=\frac{9}{2}$$

जेन्ना ± वजा आस्ता तेन्ना समिकरण x=\frac{12±24}{8} सोडोवचें. 12 तल्यान 24 वजा करची.

$$x=-\frac{12}{8}$$

4 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{-12}{8} उणो करचो.

$$x=-\frac{3}{2}$$

समिकरण आतां सुटावें जालें.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

वर्ग पुराय करूंक पांवडे

ह्या सारकें क्वॉड्रेटिक समिकरण वर्ग पुराय करून सोडोवंक शकतात. वर्ग पुराय करूंक, समिकरण x^{2}+bx=c स्वरूपांत आसूंक जाय.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 27 ची बेरीज करची.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

तातूंतल्यानूच -27 वजा केल्यार 0 उरता.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

0 तल्यान -27 वजा करची.

$$4x^{2}-12x=27$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

4 वरवीं भागाकार केल्यार 4 वरवीं केल्लो गुणाकार काडटा.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

4 न-12 क भाग लावचो.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

-\frac{3}{2} मेळपा खातीर 2 न x संज्ञेचो कोऐफिशियंट आशिल्लो -3 क भाग लावचो. मागीर समिकरणाच्या दोनूय कुशींनी -\frac{3}{2} च्या वर्गाची बेरीज करची. हो पांवडो समिकरणाचे दावे कुशीक एक जुस्त वर्ग करता.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

अपूर्णांकांचो गणक आनी भाजक हांकां दोनांकूय वर्गमूळ लावन -\frac{3}{2} क वर्गमूळ लावचें.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{9}{4} क \frac{27}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

गुणकपद x^{2}-3x+\frac{9}{4}. सामान्यपणान, जेन्नाx^{2}+bx+c अचूक वर्ग आसात, तो सदांच\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}गुणकपद करूं येता.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींनी वर्गमूळ काडचो.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

सोंपें करचें.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{2} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$