सोडोवचें 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{9}{13}\approx 0.692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0.384615385$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x-5y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y ची बेरीज करची.

$$3x=5y+4$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

5y+4क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

9x-2y=7 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{5y+4}{3} बदलपी घेवचो.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

\frac{5y+4}{3}क 9 फावटी गुणचें.

$$15y+12-2y=7$$

-2y कडेन 15y ची बेरीज करची.

$$13y+12=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 वजा करचें.

$$13y=-5$$

दोनुय कुशींक 13 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{5}{13}$$

x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} त y खातीर -\frac{5}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{5}{13} क \frac{5}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{25}{39} क \frac{4}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{9}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

3x आनी 9x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

सोंपें करचें.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 27x-45y=36 तल्यान 27x-6y=21 वजा करचो.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

-27x कडेन 27x ची बेरीज करची. अटी 27x आनी -27x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-45y+6y=36-21$$

6y कडेन -45y ची बेरीज करची.

$$-39y=36-21$$

-21 कडेन 36 ची बेरीज करची.

$$-39y=15$$

दोनुय कुशींक -39 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{5}{13}$$

9x-2y=7 त y खातीर -\frac{5}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

-\frac{5}{13}क -2 फावटी गुणचें.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{10}{13} वजा करचें.

$$9x=\frac{81}{13}$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$x=\frac{9}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$