सोडोवचें 3x+10y=102,3x+1y=84

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 1 y = 84$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{82}{3} = 27\frac{1}{3} \approx 27.333333333$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+10y=102$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10y वजा करचें.

$$3x=-10y+102$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

-10y+102क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

3x+y=84 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{10y}{3}+34 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+y=84$$

-\frac{10y}{3}+34क 3 फावटी गुणचें.

$$-10y+102+y=84$$

y कडेन -10y ची बेरीज करची.

$$-9y+102=84$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 102 वजा करचें.

$$-9y=-18$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$y=2$$

x=-\frac{10}{3}y+34 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+34$$

2क -\frac{10}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{20}{3}+34$$

-\frac{20}{3} कडेन 34 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{82}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\times 3}&-\frac{10}{3-10\times 3}\\-\frac{3}{3-10\times 3}&\frac{3}{3-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&\frac{10}{27}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 102+\frac{10}{27}\times 84\\\frac{1}{9}\times 102-\frac{1}{9}\times 84\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{82}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x+10y=102 तल्यान 3x+y=84 वजा करचो.

$$3x-3x+10y-y=102-84$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$10y-y=102-84$$

-y कडेन 10y ची बेरीज करची.

$$9y=102-84$$

-84 कडेन 102 ची बेरीज करची.

$$9y=18$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$y=2$$

3x+y=84 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+2=84$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें.

$$3x=82$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{82}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$