सोडोवचें 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

n खातीर सोडोवचें

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

गट करून फॅक्टरींक वापरून कृती

गणीत सोडोवंक, गट करून दाव्या हातान घटक. पयलीं, दावी बाजू 3n^{2}+an+bn-15 म्हूण परत बरोवंक जाय आसा. a आनी b मेळोवंक, सोडोवंक यंत्रणां मांडची.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

ab नकारात्मक आसा देखून, a आनी b क विरूध्द चिन्हां आसात. a+b नकारात्मक आसा, नकारात्मक संख्येक सकारात्मक संख्येच्या परस चड निव्वळ मोल आसता. गुणक दिवपी तत्सम जोडयांची सुची -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

दरेक जोडयेखातीर गणीत मेजचें.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

जोडयेचें उत्तर जें दिता गणीत -4.

$$a=-9 b=5$$

3n^{2}-4n-15 हें \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right) बरोवचें.

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

पयल्यात 3nफॅक्टर आवट आनी 5 दुस-या गटात.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

फॅक्टर आवट सामान्य शब्द n-3 वितरीत गूणधर्म वापरून.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

गणीताचें उत्तर सोदूंक, सोडोवचें n-3=0 आनी 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

क्वॉड्रेटिक सिध्दांत वापरून पांवडे

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 चीं सगळीं समिकरणां क्वॉड्रेटिक सिध्दांत: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} वापरून सोडोवंक शकतात. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत दोन सोडोवणी दितात, एक जेन्ना ± बेरीज आसा आनी एक जेन्ना ती वजा आसता.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

हें समिकरण प्रमाणित पद्दतीन आसा: ax^{2}+bx+c=0. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} त a खातीर 3, b खातीर -4 आनी c खातीर -15 बदली घेवचे.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 वर्गमूळ.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

3क -4 फावटी गुणचें.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-15क -12 फावटी गुणचें.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

180 कडेन 16 ची बेरीज करची.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 चें वर्गमूळ घेवचें.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

-4 च्या विरुध्दार्थी अंक 4 आसा.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

3क 2 फावटी गुणचें.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

जेन्ना ± अदीक आस्ता तेन्ना समिकरण n=\frac{4±14}{6} सोडोवचें. 14 कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$n=\frac{18}{6}$$

6 न18 क भाग लावचो.

$$n=3$$

जेन्ना ± वजा आस्ता तेन्ना समिकरण n=\frac{4±14}{6} सोडोवचें. 4 तल्यान 14 वजा करची.

$$n=-\frac{10}{6}$$

2 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{-10}{6} उणो करचो.

$$n=-\frac{5}{3}$$

समिकरण आतां सुटावें जालें.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

वर्ग पुराय करूंक पांवडे

ह्या सारकें क्वॉड्रेटिक समिकरण वर्ग पुराय करून सोडोवंक शकतात. वर्ग पुराय करूंक, समिकरण x^{2}+bx=c स्वरूपांत आसूंक जाय.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 ची बेरीज करची.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

तातूंतल्यानूच -15 वजा केल्यार 0 उरता.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

0 तल्यान -15 वजा करची.

$$3n^{2}-4n=15$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

3 वरवीं भागाकार केल्यार 3 वरवीं केल्लो गुणाकार काडटा.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

3 न15 क भाग लावचो.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

-\frac{2}{3} मेळपा खातीर 2 न x संज्ञेचो कोऐफिशियंट आशिल्लो -\frac{4}{3} क भाग लावचो. मागीर समिकरणाच्या दोनूय कुशींनी -\frac{2}{3} च्या वर्गाची बेरीज करची. हो पांवडो समिकरणाचे दावे कुशीक एक जुस्त वर्ग करता.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

अपूर्णांकांचो गणक आनी भाजक हांकां दोनांकूय वर्गमूळ लावन -\frac{2}{3} क वर्गमूळ लावचें.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

\frac{4}{9} कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

गुणकपद n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. सामान्यपणान, जेन्नाx^{2}+bx+c अचूक वर्ग आसात, तो सदांच\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}गुणकपद करूं येता.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींनी वर्गमूळ काडचो.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

सोंपें करचें.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{2}{3} ची बेरीज करची.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$