सोडोवचें 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

r खातीर सोडोवचें

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

गट करून फॅक्टरींक वापरून कृती

गणीत सोडोवंक, गट करून दाव्या हातान घटक. पयलीं, दावी बाजू 12r^{2}+ar+br-15 म्हूण परत बरोवंक जाय आसा. a आनी b मेळोवंक, सोडोवंक यंत्रणां मांडची.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

ab नकारात्मक आसा देखून, a आनी b क विरूध्द चिन्हां आसात. a+b नकारात्मक आसा, नकारात्मक संख्येक सकारात्मक संख्येच्या परस चड निव्वळ मोल आसता. गुणक दिवपी तत्सम जोडयांची सुची -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

दरेक जोडयेखातीर गणीत मेजचें.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

जोडयेचें उत्तर जें दिता गणीत -11.

$$a=-20 b=9$$

12r^{2}-11r-15 हें \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right) बरोवचें.

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

पयल्यात 4rफॅक्टर आवट आनी 3 दुस-या गटात.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

फॅक्टर आवट सामान्य शब्द 3r-5 वितरीत गूणधर्म वापरून.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

गणीताचें उत्तर सोदूंक, सोडोवचें 3r-5=0 आनी 4r+3=0.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

क्वॉड्रेटिक सिध्दांत वापरून पांवडे

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 चीं सगळीं समिकरणां क्वॉड्रेटिक सिध्दांत: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} वापरून सोडोवंक शकतात. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत दोन सोडोवणी दितात, एक जेन्ना ± बेरीज आसा आनी एक जेन्ना ती वजा आसता.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

हें समिकरण प्रमाणित पद्दतीन आसा: ax^{2}+bx+c=0. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} त a खातीर 12, b खातीर -11 आनी c खातीर -15 बदली घेवचे.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-11 वर्गमूळ.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

12क -4 फावटी गुणचें.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-15क -48 फावटी गुणचें.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

720 कडेन 121 ची बेरीज करची.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

841 चें वर्गमूळ घेवचें.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11 च्या विरुध्दार्थी अंक 11 आसा.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

12क 2 फावटी गुणचें.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

जेन्ना ± अदीक आस्ता तेन्ना समिकरण r=\frac{11±29}{24} सोडोवचें. 29 कडेन 11 ची बेरीज करची.

$$r=\frac{40}{24}$$

8 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{40}{24} उणो करचो.

$$r=\frac{5}{3}$$

जेन्ना ± वजा आस्ता तेन्ना समिकरण r=\frac{11±29}{24} सोडोवचें. 11 तल्यान 29 वजा करची.

$$r=-\frac{18}{24}$$

6 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{-18}{24} उणो करचो.

$$r=-\frac{3}{4}$$

समिकरण आतां सुटावें जालें.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

वर्ग पुराय करूंक पांवडे

ह्या सारकें क्वॉड्रेटिक समिकरण वर्ग पुराय करून सोडोवंक शकतात. वर्ग पुराय करूंक, समिकरण x^{2}+bx=c स्वरूपांत आसूंक जाय.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 ची बेरीज करची.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

तातूंतल्यानूच -15 वजा केल्यार 0 उरता.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

0 तल्यान -15 वजा करची.

$$12r^{2}-11r=15$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

12 वरवीं भागाकार केल्यार 12 वरवीं केल्लो गुणाकार काडटा.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

3 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{15}{12} उणो करचो.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

-\frac{11}{24} मेळपा खातीर 2 न x संज्ञेचो कोऐफिशियंट आशिल्लो -\frac{11}{12} क भाग लावचो. मागीर समिकरणाच्या दोनूय कुशींनी -\frac{11}{24} च्या वर्गाची बेरीज करची. हो पांवडो समिकरणाचे दावे कुशीक एक जुस्त वर्ग करता.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

अपूर्णांकांचो गणक आनी भाजक हांकां दोनांकूय वर्गमूळ लावन -\frac{11}{24} क वर्गमूळ लावचें.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{121}{576} क \frac{5}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

गुणकपद r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. सामान्यपणान, जेन्नाx^{2}+bx+c अचूक वर्ग आसात, तो सदांच\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}गुणकपद करूं येता.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींनी वर्गमूळ काडचो.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

सोंपें करचें.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{11}{24} ची बेरीज करची.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$