सोडोवचें (x^2-6x-16)*sqrt{x-3}=0

$$( x ^ { 2 } - 6 x - 16 ) \cdot \sqrt { x - 3 } = 0$$

x खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$x=8$$

सोडोवणी पांवडे

\sqrt{x-3} न x^{2}-6x-16 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x^{2}\sqrt{x-3}-6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान -6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3} वजा करचें.

$$x^{2}\sqrt{x-3}=-\left(-6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3}\right)$$

-6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$x^{2}\sqrt{x-3}=6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशीनी वर्ग लावचो.

$$\left(x^{2}\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

\left(x^{2}\sqrt{x-3}\right)^{2} विस्तारीत करचो.

$$\left(x^{2}\right)^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

एक पॉवर दुसऱ्या पॉवरान उखलून धरपाक, निदर्शकांक गुणचें. 4 मेळोवंक 2 तल्यान 2 गुणचो.

$$x^{4}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

x-3 मेळोवंक 2 चो \sqrt{x-3} पॉवर मेजचो.

$$x^{4}\left(x-3\right)=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

x-3 न x^{4} गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x^{5}-3x^{4}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

बायनोमियल प्रमेयाचो वापर करून \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} विस्तारावचें \left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+192x\sqrt{x-3}\sqrt{x-3}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

\left(\sqrt{x-3}\right)^{2} मेळोवंक \sqrt{x-3} आनी \sqrt{x-3} गुणचें.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+192x\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

x-3 मेळोवंक 2 चो \sqrt{x-3} पॉवर मेजचो.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{2}\left(x-3\right)+192x\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

x-3 न 36x^{2} गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}-108x^{2}+192x\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

x-3 मेळोवंक 2 चो \sqrt{x-3} पॉवर मेजचो.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}-108x^{2}+192x\left(x-3\right)+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

x-3 न 192x गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}-108x^{2}+192x^{2}-576x+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

84x^{2} मेळोवंक -108x^{2} आनी 192x^{2} एकठांय करचें.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-576x+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

x-3 मेळोवंक 2 चो \sqrt{x-3} पॉवर मेजचो.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-576x+256\left(x-3\right)$$

x-3 न 256 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-576x+256x-768$$

-320x मेळोवंक -576x आनी 256x एकठांय करचें.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-320x-768$$

दोनूय कुशींतल्यान 36x^{3} वजा करचें.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}=84x^{2}-320x-768$$

दोनूय कुशींतल्यान 84x^{2} वजा करचें.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}=-320x-768$$

दोनूय वटांनी 320x जोडचे.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}+320x=-768$$

दोनूय वटांनी 768 जोडचे.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}+320x+768=0$$

रॅशनल रूट थियरम प्रमाणें, पोलिनोमियलाचे सगळे रॅशनल रुट्स मुखावयल्या स्वरुपात आसतात \frac{p}{q}, जंय p थीर संज्ञेक भाग लायता 768 आनी q भागता पुरक 1. सगळे उमेदवारांची सुची \frac{p}{q}.

$$±768,±384,±256,±192,±128,±96,±64,±48,±32,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

सगळीं पूर्णांक मोलां यत्न करून तसो एक मूळ सोदून काडचो, ल्हानातल्यान सुरू करूंन निव्वळ शून्य. पूर्णांक मुळां मेळूंक नासल्यार परत यत्न करचो.

$$x=-2$$

फॅक्टर थियरमा प्रमाणें, x-k दरेक रूट खातीर पोलिनोमियल फॅक्टर करात k. x^{4}-5x^{3}-26x^{2}-32x+384 मेळोवंक x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}+320x+768 क x+2 न भाग लावचो. समिकरण सोडोवंक, निकाल हाचे समान 0.

$$x^{4}-5x^{3}-26x^{2}-32x+384=0$$

रॅशनल रूट थियरम प्रमाणें, पोलिनोमियलाचे सगळे रॅशनल रुट्स मुखावयल्या स्वरुपात आसतात \frac{p}{q}, जंय p थीर संज्ञेक भाग लायता 384 आनी q भागता पुरक 1. सगळे उमेदवारांची सुची \frac{p}{q}.

$$±384,±192,±128,±96,±64,±48,±32,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

सगळीं पूर्णांक मोलां यत्न करून तसो एक मूळ सोदून काडचो, ल्हानातल्यान सुरू करूंन निव्वळ शून्य. पूर्णांक मुळां मेळूंक नासल्यार परत यत्न करचो.

$$x=3$$

फॅक्टर थियरमा प्रमाणें, x-k दरेक रूट खातीर पोलिनोमियल फॅक्टर करात k. x^{3}-2x^{2}-32x-128 मेळोवंक x^{4}-5x^{3}-26x^{2}-32x+384 क x-3 न भाग लावचो. समिकरण सोडोवंक, निकाल हाचे समान 0.

$$x^{3}-2x^{2}-32x-128=0$$

रॅशनल रूट थियरम प्रमाणें, पोलिनोमियलाचे सगळे रॅशनल रुट्स मुखावयल्या स्वरुपात आसतात \frac{p}{q}, जंय p थीर संज्ञेक भाग लायता -128 आनी q भागता पुरक 1. सगळे उमेदवारांची सुची \frac{p}{q}.

$$±128,±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

सगळीं पूर्णांक मोलां यत्न करून तसो एक मूळ सोदून काडचो, ल्हानातल्यान सुरू करूंन निव्वळ शून्य. पूर्णांक मुळां मेळूंक नासल्यार परत यत्न करचो.

$$x=8$$

फॅक्टर थियरमा प्रमाणें, x-k दरेक रूट खातीर पोलिनोमियल फॅक्टर करात k. x^{2}+6x+16 मेळोवंक x^{3}-2x^{2}-32x-128 क x-8 न भाग लावचो. समिकरण सोडोवंक, निकाल हाचे समान 0.

$$x^{2}+6x+16=0$$

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 चीं सगळीं समिकरणां क्वॉड्रेटिक फॉर्मूला वापरून सोडोवंक शकतात: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. क्वॉड्रेटिक फॉर्मूलात a च्या सुवातेर 1 घेवचो, b खातीर 6, आनी c खातीर 16 घेवचो.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

मेजणी करची.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-28}}{2}$$

नकारात्मक आंकड्याचो वर्गमूळ वास्तव क्षेत्रांत व्याख्यीत करूंक नाशिल्ल्यान, हांगा सोल्यूशन ना.

$$x\in \emptyset$$

सगळीं समाधानां प्राप्त सुची.

$$x=-2 x=3 x=8$$

\left(x^{2}-6x-16\right)\sqrt{x-3}=0 ह्या समिकरणांत x खातीर -2 बदलपी घेवचो. ऍक्सप्रेशन \sqrt{-2-3} जाची व्याख्या केल्ली ना कारण रेडिकांड नकारात्मक आसूंक शकना.

$$\left(\left(-2\right)^{2}-6\left(-2\right)-16\right)\sqrt{-2-3}=0$$

\left(x^{2}-6x-16\right)\sqrt{x-3}=0 ह्या समिकरणांत x खातीर 3 बदलपी घेवचो.

$$\left(3^{2}-6\times 3-16\right)\sqrt{3-3}=0$$

सोंपें करचें. मोल x=3 समिकरणाचें समाधान करता.

$$0=0$$

\left(x^{2}-6x-16\right)\sqrt{x-3}=0 ह्या समिकरणांत x खातीर 8 बदलपी घेवचो.

$$\left(8^{2}-6\times 8-16\right)\sqrt{8-3}=0$$

सोंपें करचें. मोल x=8 समिकरणाचें समाधान करता.

$$0=0$$

\sqrt{x-3}x^{2}=6\sqrt{x-3}x+16\sqrt{x-3} च्या सगळ्या समाधानांची सुची.

$$x=3 x=8$$

x खातीर सोडोवचें (जटील सोल्यूशन)

$$x=-2$$

$$x=8$$

$$x=3$$